msleziak.com

Pozrime sa na takýto typ úlohy: Máme zadaný podpriestor $S$. Chceme nájsť homogénnu sústavu, ktorej množina riešení je podpriestor $S$.
Môžete si rozmyslieť, že takéto niečo sa dá urobiť vždy. (Dokonca toto je priamo úloha 5.2.8(1) v LAG1.)
Ja sa tu pozriem na pár konkrétnych príkladov a napíšem nejaké stručné komentáre okolo.

Spomínam to napríklad aj z tých dôvodov, že:
* Takéto niečo sa môže hodiť, ak chceme nájsť bázu/dimenziu prieniku dvoch daných podpriestorov: viewtopic.php?t=816
* Dá sa na to pozerať aj ako na nájdenie ortogonálneho doplnku $S^\bot$. Ten sme zatiaľ nepreberali - ale v letnom semestri budeme takéto niečo potrebovať dosť často, napríklad keď budeme počítať vzdialenosti medzi bodmi, priamkami, rovinami. (Resp. všeobecne medzi afinnými podpriestormi.)
* Ak sa naučím z redukovaného stupňovitého tvaru vyčítať rovnice, ktorým vyhovujú všetky riadky, tak mi to dáva ešte ďalšiu možnosť ako robiť (polo)skúšku správnosti.

Skúsme sa pozrieť na takúto úlohu:

Zadanie.
Pre podpriestor $S=[(1,1,2,1),(1,2,3,0),(1,-1,0,3)]$ priestoru $\mathbb R^4$ nájdite homogénnu sústavu lineárnych rovníc takú, že jej množina riešení je $S$.

Napíšem tu niečo k riešeniu - ale aby ste mali možnosť trochu nad touto úlohou porozmýšľať sami, tak niektoré časti nechám skryté.

Riešenie.
Môže sa oplatiť najprv skúsiť nájsť jednoduchšiu bázu pre $S$, možno s ňou sa nám bude ľahšie počítať. To môžeme spraviť napríklad úpravou na redukovaný stupňovitý tvar. (Ale v princípe nič by sa nezmenilo ani keby sme pracovali s pôvodnými vektormi.)
Mali by ste dostať, že $S=[(1,0,1,2),(0,1,1,-1)]$.
Vidíme teda tiež, že $\dim(S)=2$. Teraz by sme chceli nájsť nejaké rovnice tvaru $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0$ tak, aby im vyhovovali vektory z $S$. (Čísla $a, b, c, d\in\mathbb R$ sú koeficienty, ktoré zatiaľ nepoznáme - tie by sme chceli nájsť.)
Rozmyslite si, čo vieme povedať o číslach $a$, $b$, $c$, $d$ na základe toho, že poznáme nejaké vektory, ktoré vyhovujú tejto rovnice. (Napríklad keď vieme, že $(1,1,2,1)$ má byť riešením tejto rovnice. Podobne vieme, že vektor $(1,0,1,2)$ vyhovuje tejto rovnici.)
Skúste teda nejako zosumarizovať podmienky pre $a$, $b$, $c$, $d$, ktoré sme takto dostali - a nájsť všetky štvorice $(a,b,c,d)$, ktoré im vyhovujú. Viete z tohoto už dostať sústavu rovníc, ktorú hľadáme? Viete zdôvodniť, že riešenia tejto sústavy sú naozaj presne prvky z $S$? (T.j. prvky z $S$ vyhovujú sústave a sústava nemá žiadne ďalšie riešenia.) Azda sa oplatí explicitne spomenúť aj to, že výsledok nie je v takomto prípade jednoznačne určený.
Stačí si uvedomiť, že akákoľvek iná sústava ekvivalentná s tou, ktorú sme dostali dáva tie isté riešenia.
Napríklad sa nič nezmení ak nejakú rovnicu vynásobím nenulovou konštantou. (Ja som napríklad pri zápise výsledku vybral také rovnice, aby bol prvý nenulový koeficient kladný.)
Takisto ak by sme pridali nejaké ďalšie rovnice, ktoré dostaneme ako lineárnu kombináciu tých čo už máme, tak neovplyvníme množinu riešení.

Skúsme ešte jeden príklad takéhoto typu.

Zadanie. Chceme nájsť homogénnu sústavu takú, že jej podpriestor riešení je $S=[(2,1,1,1,1),(1,2,1,0,1),(1,1,2,1,3)]$.

Môžem najprv upraviť vektory na redukovaný stupňovitý tvar.
$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \frac12 & \frac54 \\
0 & 1 & 0 &-\frac12 &-\frac14 \\
0 & 0 & 1 & \frac12 & \frac74 \\
\end{pmatrix}
$ Viete z tohoto vyčítať sústavu takú, aby toto bola množina riešení? Znovu pripomeniem to, čo som hovoril už viackrát. Pre niektoré typy úloh nie je podstatné dostať redukovaný stupňovitý tvar - úplne mi stačí taká matica, kde mám v každom nenulovom riadku takú jednotku, že ostatné prvky v tom stĺpci sú nulové. (V redukovanom stupňovitom tvare máme navyše podmienku, že tieto "špeciálne" jednotky majú mať nuly aj pred sebou v riadku a ešte majú byť riadky správnym spôsobom usporiadané. Malo by to byť tak, že ak rozumiete tomu prečo nám pri niektorom type úloh pomôže redukovaný stupňovitý tvar, tak by ste si mali byť schopní rozmyslieť či sa v takej úlohe dá použiť aj tento "poprehadzovaný" redukovaný stupňovitý tvar.)
V tomto konkrétnom príklad ak napríklad použijem posledné tri stĺpce, tak mám drobnú výhodu, že mi nevyjdú žiadne zlomky.
$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-1 & 0 & 1 & 0 \\
-2 &-2 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$
Opäť, z toho čo sme vypočítali by ste mohli byť schopní nájsť hľadanú sústavu. Zdôvodnenie, že množina riešení je práve podpriestor $S$ sa dá urobiť podobne, ako sme to urobili v predošlej úlohe. (Dosadením generátorov a úvahami o hodnosti a dimenzii.)

Vidíme, že nám vyšli sústavy, ktoré sú dosť rozdielne.
Oba výsledky sú správne - v oboch prípadoch sme našli sústavu, ktorej množina riešení je zadaný podpriestor.

Ako to súvisí s ortogonálnym doplnkom

Na tejto prednáške sme skalárny súčin síce ešte nepreberali, ale zo strednej školy niečo o ňom viete. (A tiež sa k tomu, čo tu napíšem, môžete vrátiť keď sa táto téma bude preberať)
Konkrétne poznáte pre prípady $n=2$ a $n=3$ (rovina, priestor) niečo také, že ak mám vektory $\vec x=(x_1,\dots,x_n)$, $\vec y=(y_1,\dots,y_n)$, tak ich skalárny súčin je
$$\vec x\cdot\vec y=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n.$$
Tiež viete to, že vektory $\vec x$ a $\vec y$ sú na seba kolmé práve vtedy, keď $\vec x\cdot\vec y=0$.

Neskôr budete vidieť, že skalárny súčin sa dá definovať všeobecnejšie.
Ale zatiaľ sa držme toho čo som napísal vyššie - takýto skalárny súčin sa zvykne volať štandardný skalárny súčin.
A berme to, že skalárny súčin je nulový, ako definíciu kedy sú dva vektory v $\mathbb R^n$ na seba kolmé.

Keď si všimnete čo sme rátali v príkladoch vyššie, tak sme mali zadané nejaké vektory a hľadali sme štvorice $(a,b,c,d)$, pre ktoré platí $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0$. To sa dá Ekvivalentne povedať tak, že tento skalárny súčin je nulový:
$$(a,b,c,d)\cdot(x_1,x_2,x_3,x_4)=0.$$
Teda vlastne sme hľadali všetky vektory $(a,b,c,d)$, ktorú sú kolmé na zadané vektory. Dá sa ukázať, že potom budú kolmé aj na všetky vektory z ich lineárneho obalu $S$.

Množina vektorov, ktoré sú kolmé na každý vektor z $S$, sa volá ortogonálny doplnok podpriestoru $S$ a označuje sa $S^\bot$.

Vlastne sme teda v predošlých dvoch úlohách súčasne zrátali, že pre $S=[(1,1,2,1),(1,2,3,0),(1,-1,0,3)]$ máme $S^\bot=[(1,1,-1,0),(2,-1,0,-1)]$.
A v ďalšom príklad to, že pre $S=[(2,1,1,1,1),(1,2,1,0,1),(1,1,2,1,3)]$ máme $S^\bot=[(1,-1,1,-2,0),(1,1,-7,0,4)]=[(1,0,-3,-1,2),(0,1,-4,1,2)]$.

******

Ako som spomenul, takéto niečo budeme preberať neskôr. Ale keďže je to v podstate ten istý výpočet ako tu, tak sa mi zdalo rozumné to spomenúť.
Ak by sa niekto chcel pozrieť na veci súvisiace so skalárnym súčinom už teraz - skôr než budú aj na prednáške - tak sa dá na to pozrieť v literatúre, ktorú máte k tomuto predmetu. (Špeciálne nájdete kapitolu o tejto téme aj v bielej knihe aj v zelenej knihe.)

Pridám aj nejaké linky na Wikipédiu, na ktoré sa dá pozrieť:

• Dot product - skalárny súčin
• Inner product space - priestor so skalárnym súčinom
• Orthogonal complement - ortogonálny doplnok