Cramerovo pravidlo (cez súčin matíc)

[Martin Sleziak]

Tento príklad časom doplním aj medzi príklady čo sú na stránke, ale možno je zaujímavé vidieť takéto trochu iné odvodenie Cramerovho pravidla.

Úloha: Majme regulárnu maticu $A$ a sústavu tvaru $A\vec x^T=\vec b^T$. Označme ako $A_i$ maticu, ktorá vznikne ak v matici $A$ nahradíme $i$-ty stĺpec pravými stranami.
a) Vedeli by ste vymyslieť vhodnú maticu tak aby platilo $A\cdot B_i=A_i$?
b) Ak ste našli takú maticu, vedeli by ste pomocou nej odvodiť Cramerovo pravidlo?

Aspoň naznačím ako sa to dá riešiť - ale riešenie dám do spoilerov, aby ste o tom mohli porozmýšľať sami. (Ak by bolo treba napísať k riešeniu viac detailov, tak sa treba ozvať a niekedy ich sem dopíšem.)

Toto je k časti a:

Spoiler:

Vyskúšajte maticu $B_i=
\begin{pmatrix}
1 & & & x_1 & & \\
& 1 & & x_2 & & \\
& & \ddots & \vdots & & \\
& & & x_i & & \\
& & & \vdots & \ddots & \\
& & & x_n & & 1 \\
\end{pmatrix}$, kde $(x_1,\dots,x_n)$ je riešenie sústavy.

Toto je k časti b:

Spoiler:

Už si treba vlastne iba rozmyslieť,že $\det(B_i)=
\det\begin{pmatrix}
1 & & & x_1 & & \\
& 1 & & x_2 & & \\
& & \ddots & \vdots & & \\
& & & x_i & & \\
& & & \vdots & \ddots & \\
& & & x_n & & 1 \\
\end{pmatrix}=x_i$ a využiť čo vieme o determinante súčinu.

[Martin Sleziak]

Len sem doplním, že takýto dôkaz je aj v článku na Wikipédii: Cramer's rule§ A short proof. (Pridám aj linku na súčasnú revíziu.)

Je tam uvedený aj odkaz na tento (kratučký) článok: Robinson, Stephen M. (1970). "A Short Proof of Cramer's Rule". Mathematics Magazine. 43 (2): 94–95. https://doi.org/10.1080%2F0025570X.1970.11976018
(V podstate neobsahuje o moc viac ako v nejakej podobe sformulovaný takýto dôkaz.)