Prechod v $F^n$ cez matice$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}
\newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}
\newcommand{\Vdots}[3]{\vek{#1}_{#2},\dots,\vek{#1}_{#3}}
\newcommand{\Vddots}[4]{\vek{#1}_{#2},\vek{#1}_{#3},\dots,\vek{#1}_{#4}}
\newcommand{\LKdots}[4]{#1_{#3} \vek{#2}_{#3} +\dots+#1_{#4}\vek{#2}_{#4}}
\newcommand{\LKddots}[5]{#1_{#3} \vek{#2}_{#3} + #1_{#4}\vek{#2}_{#4} + \dots+#1_{#5}\vek{#2}_{#5}}$
Budeme pracovať v priestore $V=F^n$.
Treba si dať pozor aby sme rozlišovali medzi
vektorom a usporiadanou $n$-ticou ktorá predstavuje
súradnice vektora vzhľadom na danú bázu. (Oboje sú v tomto prípade prvky z $F^n$.)
Keďže takéto označenie je aj v zelenej knihe, azda je rozumné keď sa budem držať toho, že $\vec x=(x_1,\dots,x_n)$ budem označovať vektor, ale symbol $X=(x_1,\dots,x_n)$ použijem ak pôjde o súradnice. (V knihe je použité $\mathbf X$, ale nechce sa mi zakaždým pridávať že to má byť boldom.)
Hlavne som chcel ale zdôrazniť, že usporiadané $n$-tice sa tu budú vyskytovať v dvoch rôznych významoch.
Zoberme si nejakú bázu $(\Vddots a12n)$ a vytvorme maticu $A$, v ktorej budú tieto vektory ako riadky:
$$A=
\begin{pmatrix}
\vec a_1 \\ \vec a_2 \\ \vdots \\ \vec a_n \\
\end{pmatrix}.
$$
Fakt, že ide o bázu, môžeme ekvivalentne pomocou matíc povedať tak, že $A$ je regulárna.
Súradnice vektora.
To, že nejaký vektor má vzhľadom na túto bázu súradnice $X=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ podľa definície znamená, že
$$\vec x=\LKddots xa12n.$$
Môžeme ľahko skontrolovať, že toto je to isté ako maticová rovnosť
$$\vec x=XA.$$
Matica prechodu.
Máme teraz nejakú ďalšiu bázu $\Vddots b12n$ a opäť si vektory z tejto bázy poukladáme do riadkov matice $P$.
Keď porovnáte čo vznikne násobením matíc a ako bola definovaná matice prechodu od $\Vddots a12n$ k $\Vddots b12n$, tak by sa malo dať vidieť že ekvivalentne to môžeme povedať tak, že platí rovnosť
$$B=PA.$$
To že matica $P$ je jednoznačne určená vieme z vlastností báz.
Ale aj ak sa pozrieme na uvedenú maticovú rovnosť, tak vidíme, že máme jedinú možnosť ako môže vyzerať matica $P$.
$$P=BA^{-1}.$$
Súčasne vidíme aj to, že matica $P$ je regulárna, keďže sa rovná súčinu dvoch regulárnych matíc.
Tiež si môžeme všimnúť, že ak $P$ je matica prechodu jedným smerom, tak máme
$$B=PA \Rightarrow A=\inv PB,$$
čo nám hovorí, že $\inv P$ je matica prechodu opačným smerom (t.j. od $\Vdots b1n$ k $\Vdots a1n$).
Alebo napríklad ak $P$ je matica prechodu od $\Vdots a1n$ k $\Vdots b1n$, $P'$ je matica prechodu od $\Vdots b1n$ k $\Vdots c1n$, tak máme $C=P'B$ a $B=PA$, z čoho vidíme
$$C=P'PA.$$
Teda matica prechodu od $\Vdots a1n$ k $\Vdots c1n$ je súčin $P'P$.
Alebo si tiež môžeme všimnúť, že ak $P$ a $A$ sú regulárne matice, tak aj $B=PA$ je regulárna matica. Toto nám hovorí, že pre zadanú bázu $\Vdots a1n$ a regulárnu maticu $P$ vieme takýmto spôsobom dostať novú bázu $\Vdots b1n$ takú, že $P$ je príslušná matica prechodu.
Zmena súradníc vektora.
Pozrime sa teraz na to, čo vieme povedať o súradniciach vektora ak sa pozeráme na dve rôzne bázy.
Majme maticu prechodu $P$ od bázy $\Vdots a1n$ k $\Vdots b1n$. T.j. $B=PA$.
Označme si $X_n$ súradnice vzhľadom na bázu $\Vdots b1n$ a $X_s$ súradnice vzhľadom na bázu $\Vdots a1n$. (Indexy som dal na označenie "nové súradnice" a "staré súradnice", ak sa na maticu prechodu pozeráme tak, že je to matica prechodu od starých súradníc k novým.)
Čo by sme vedeli povedať o vzťahu medzi $X_s$ a $X_n$?
To, že ide o súradnice vektora vzhľadom na nejakú bázu mi hovorí to, že
\begin{align*}
\vec x&=X_sA\\
\vec x&=X_nB
\end{align*}
Ak dosadíme $B=PA$ do druhej z týchto rovností, tak máme $\vec x=X_nPA$, teda dostaneme:
\begin{gather*}
X_sA=X_nPA\\
X_s=X_nP
\end{gather*}
(Keďže $A$ je regulárna, tak sme mohli rovnosť $X_sA=X_nPA$ vynásobiť $\inv A$.)
Medzi týmito súradnicami teda máme vzťahy $X_s=X_nP$ alebo $X_n=X_s\inv P$.