Tri otázky k permutáciám
Posted: Fri Apr 17, 2020 10:16 pm
1. V materiáloch pre cv.5 "Rád a parita permutácie" sa v riešení druhého príkladu hovorí "každý cyklus vieme rozložiť na súčin transpozícií, ktorých počet je o jedna menší ako dĺžka cyklu." Odkiaľ toto vieme?
2. V skriptách str.30 máme uvedené ako vyzerá rozklad permutácie (123) na transpozície, ale chýba mi informácia o tom, ako rozklad na transpozície urobiť. Tj - vo všeobecnosti - aký je mechanizmus rozkladu permutácie na transpozície? Ako získať transpozície?
3. Zaujímalo by ma, či poznáme nejaký efektívny spôsob, ako rozkladať grupu permutácií na triedy. Napr triedy rozkladu $G = (S_4, \circ)$ podľa
$H = \{id,\ (1234),\ (13)(24),\ (1432)\}$ som riešila nasledovne (viď nižie), ale tento spôsob sa mi veľmi nepáči, keďže je extrémne zdĺhavý a človek musí mechanicky prechádzať cez každú možnosť. A navyše, v tomto konkrétnom príklade, som postupovala prvok po prvku $S_4$ a náhodou prvých 5 prvkov mi rovno dalo celý rozklad. Vieme to urobiť lepšie?
Moje riešenie:
$S_4$ je množina všetkých štvorprvkových permutácií, tj pre danú štvoricu prvkov obsahuje 4.3.2.1=24 permutácií:
\begin{gather*}
S_4 = \{id,\ (34),\ (23),\ (234),\ (243),\ (24),\ (12),\ (12)(34),\ (123),\ (1234),\ (1243),\ (124),
\\ \hspace{1.8cm} (132),\ (1342),\ (13),\ (134),\ (13)(24),\ (1324),\ (1432),\ (142),\ (143),\ (14),\ (1423),\ (14)(23)\}
\end{gather*}
Skladanie narozdiel od násobenia nie je komutatívna operácia, a preto sa musíme pozrieť zvlášť na pravé aj ľavé triedy rozkladu.
Ľavé triedy:
$id \circ H = H = \{id,\ (1234),\ (13)(24),\ (1432)\}$
$(34) \circ H = \{(34),\ (34)(1234),\ (34)(13)(24),\ (34)(1432)\} = \{(34),\ (124),\ (1423),\ (132)\}$
$(23) \circ H = \{(23),\ (23)(1234),\ (23)(13)(24),\ (23)(1432)\} = \{(23),\ (134),\ (1243),\ (142)\}$
$(234) \circ H = \{(234),\ (234)(1234),\ (234)(13)(24),\ (234)(1432)\} = \{(234),\ (1324),\ (143),\ (12)\}$
$(243) \circ H = \{(243),\ (243)(1234),\ (243)(13)(24),\ (243)(1432)\} = \{(243),\ (14),\ (123),\ (1342)\}$
$(24) \circ H = \{(24),\ (24)(1234),\ (24)(13)(24),\ (24)(1432)\} = \{(24),\ (14)(23),\ (13),\ (12)(34)\}$
Týchto 5 tried je príkladom ľavého rozkladu G podľa H - triedy sú neprázdne, navzájom disjunktné a na zjednotení dávajú pôvodnú množinu prvkov grupy G.
Pravé triedy:
$H \circ id = H = \{id,\ (1234),\ (13)(24),\ (1432)\}$
$H \circ (34) = \{(34),\ (1234)(34),\ (13)(24)(34),\ (1432)(34)\} = \{(34),\ (123),\ (1324),\ (142)\}$
$H \circ (23) = \{(23),\ (1234)(23),\ (13)(24)(23),\ (1432)(23)\} = \{(23),\ (124),\ (1342),\ (143)\}$
$H \circ (234) = \{(234),\ (1234)(234),\ (13)(24)(234),\ (1432)(234)\} = \{(234),\ (1243),\ (132),\ (14)\}$
$H \circ (243) = \{(243),\ (1234)(243),\ (13)(24)(243),\ (1432)(243)\} = \{(243),\ (12),\ (134),\ (1423)\}$
$H \circ (24) = \{(24),\ (1234)(24),\ (13)(24)(24),\ (1432)(24)\} = \{(24),\ (12)(34),\ (13),\ (14)(23)\}$
Týchto 5 tried je príkladom pravého rozkladu G podľa H. Opäť platí, že triedy sú neprázdne, navzájom disjunktné a na zjednotení dávajú pôvodnú množinu prvkov grupy G.
2. V skriptách str.30 máme uvedené ako vyzerá rozklad permutácie (123) na transpozície, ale chýba mi informácia o tom, ako rozklad na transpozície urobiť. Tj - vo všeobecnosti - aký je mechanizmus rozkladu permutácie na transpozície? Ako získať transpozície?
3. Zaujímalo by ma, či poznáme nejaký efektívny spôsob, ako rozkladať grupu permutácií na triedy. Napr triedy rozkladu $G = (S_4, \circ)$ podľa
$H = \{id,\ (1234),\ (13)(24),\ (1432)\}$ som riešila nasledovne (viď nižie), ale tento spôsob sa mi veľmi nepáči, keďže je extrémne zdĺhavý a človek musí mechanicky prechádzať cez každú možnosť. A navyše, v tomto konkrétnom príklade, som postupovala prvok po prvku $S_4$ a náhodou prvých 5 prvkov mi rovno dalo celý rozklad. Vieme to urobiť lepšie?
Moje riešenie:
$S_4$ je množina všetkých štvorprvkových permutácií, tj pre danú štvoricu prvkov obsahuje 4.3.2.1=24 permutácií:
\begin{gather*}
S_4 = \{id,\ (34),\ (23),\ (234),\ (243),\ (24),\ (12),\ (12)(34),\ (123),\ (1234),\ (1243),\ (124),
\\ \hspace{1.8cm} (132),\ (1342),\ (13),\ (134),\ (13)(24),\ (1324),\ (1432),\ (142),\ (143),\ (14),\ (1423),\ (14)(23)\}
\end{gather*}
Skladanie narozdiel od násobenia nie je komutatívna operácia, a preto sa musíme pozrieť zvlášť na pravé aj ľavé triedy rozkladu.
Ľavé triedy:
$id \circ H = H = \{id,\ (1234),\ (13)(24),\ (1432)\}$
$(34) \circ H = \{(34),\ (34)(1234),\ (34)(13)(24),\ (34)(1432)\} = \{(34),\ (124),\ (1423),\ (132)\}$
$(23) \circ H = \{(23),\ (23)(1234),\ (23)(13)(24),\ (23)(1432)\} = \{(23),\ (134),\ (1243),\ (142)\}$
$(234) \circ H = \{(234),\ (234)(1234),\ (234)(13)(24),\ (234)(1432)\} = \{(234),\ (1324),\ (143),\ (12)\}$
$(243) \circ H = \{(243),\ (243)(1234),\ (243)(13)(24),\ (243)(1432)\} = \{(243),\ (14),\ (123),\ (1342)\}$
$(24) \circ H = \{(24),\ (24)(1234),\ (24)(13)(24),\ (24)(1432)\} = \{(24),\ (14)(23),\ (13),\ (12)(34)\}$
Týchto 5 tried je príkladom ľavého rozkladu G podľa H - triedy sú neprázdne, navzájom disjunktné a na zjednotení dávajú pôvodnú množinu prvkov grupy G.
Pravé triedy:
$H \circ id = H = \{id,\ (1234),\ (13)(24),\ (1432)\}$
$H \circ (34) = \{(34),\ (1234)(34),\ (13)(24)(34),\ (1432)(34)\} = \{(34),\ (123),\ (1324),\ (142)\}$
$H \circ (23) = \{(23),\ (1234)(23),\ (13)(24)(23),\ (1432)(23)\} = \{(23),\ (124),\ (1342),\ (143)\}$
$H \circ (234) = \{(234),\ (1234)(234),\ (13)(24)(234),\ (1432)(234)\} = \{(234),\ (1243),\ (132),\ (14)\}$
$H \circ (243) = \{(243),\ (1234)(243),\ (13)(24)(243),\ (1432)(243)\} = \{(243),\ (12),\ (134),\ (1423)\}$
$H \circ (24) = \{(24),\ (1234)(24),\ (13)(24)(24),\ (1432)(24)\} = \{(24),\ (12)(34),\ (13),\ (14)(23)\}$
Týchto 5 tried je príkladom pravého rozkladu G podľa H. Opäť platí, že triedy sú neprázdne, navzájom disjunktné a na zjednotení dávajú pôvodnú množinu prvkov grupy G.