Page 1 of 1

Vzdialenosť priamky a roviny

Posted: Mon Apr 27, 2020 10:38 am
by Martin Sleziak
Zadania

Nejaké ďalšie príklady na vzdialenosť nájdete vyriešené na fóre. Viacero liniek je pozbieraných tu: viewtopic.php?t=1509
Určte vzdialenosť priamky $p$ a roviny $\alpha$ v~priestore $(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$.
\begin{gather*}
p \equiv
\begin{cases}
x_1=t\\
x_2=1-t\\
x_3=2-t\\
x_4=1; t\in\mathbb R
\end{cases}
\\
\alpha\equiv
\begin{cases}
x_1-2x_2+x_3+x_4+3=0,\\x_1-3x_2+1=0.
\end{cases}
\end{gather*}
V ostatných skupinách zadanie vyzeralo veľmi podobne - ale s inými číslami. (Výsledok vo všetkých skupinách je $\sqrt{10}$. Takisto vo všetkých skupinách je ten istý podpriestor $(V_p+V_\alpha)^T$.)
Spoiler:
Skupina B:
\begin{gather*}
p \equiv
\begin{cases}
x_1=-2+3t\\
x_2=-1+t\\
x_3=2-t\\
x_4=1; t\in\mathbb R
\end{cases}
\\
\alpha\equiv
\begin{cases}
x_1+2x_2-x_3-x_4-1=0,\\x_2-x_3-x_4-2=0.
\end{cases}
\end{gather*}

Skupina C:
\begin{gather*}
p \equiv
\begin{cases}
x_1=1\\
x_2=0\\
x_3=3+t\\
x_4=-1-t; t\in\mathbb R
\end{cases}
\\
\alpha\equiv
\begin{cases}
-2x_1+2x_2-4x_3+x_4-5=0,\\x_1-x_2+2x_3+3=0.
\end{cases}
\end{gather*}

Re: Vzdialenosť priamky a roviny

Posted: Mon Apr 27, 2020 10:39 am
by Martin Sleziak
Riešenie$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\abs}[1]{|#1|}$

Môžeme najprv jednoduchšie popísať $\alpha$. Je to rovina určená podpriestorom $V_\alpha=[(-3,-1,1,0),(-3,-1,0,1)]=[(-3,-1,1,0),(0,0,1,-1)]$ a bodom $A=(-7,-2,0,0)$.
Spoiler:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-2 & 1 & 1 &-3 \\
1 &-3 & 0 & 0 &-1 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 & 1 & 1 &-2 \\
1 &-3 & 0 & 0 &-1 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-3 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 1 &-2 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 3 & 3 &-7 \\
0 & 1 & 1 & 1 &-2 \\
\end{array}\right)
$
Pre priamku $p$ máme bod $B=(0,1,2,1)$ a $V_p=[(1,-1,-1,0)]$.

Takisto sa nám môže hodiť aj
$$V_p+V_\alpha=[(1,1,0,0),(0,2,0,1),(0,2,1,0)]=[(1,1,0,0),(0,2,0,1),(0,0,1,-1)]=
\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1-x_2+2x_3+2x_4=0\}.$$
Spoiler:
$\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & 0 \\
-3 &-1 & 1 & 0 \\
-3 &-1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
-3 &-1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
-2 &-2 &-1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
-2 &-2 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 &-2 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}$
Kolmý priemet. Zoberieme si body $B=(0,1,2,1)\in p$ a $A=(-7,-2,0,0)\in\alpha$. Chceme vypočítať priemet vektora $\vekt{AB}=(7,3,2,1)$ do $(V_p+V_\alpha)^\bot=[(1,-1,2,2)]$.
Jednotkový vektor: $\vec u=\frac1{\sqrt{10}}(1,-1,2,2)$.
Matica projekcie: $P=\frac1{10}
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 2 & 2 \\
-1 & 1 &-2 &-2 \\
2 &-2 & 4 & 4 \\
2 &-2 & 4 & 4 \\
\end{pmatrix}
$
Priemet: $\vekt{AB}\cdot P=
\frac1{10}(7,3,2,1)\begin{pmatrix}
1 &-1 & 2 & 2 \\
-1 & 1 &-2 &-2 \\
2 &-2 & 4 & 4 \\
2 &-2 & 4 & 4 \\
\end{pmatrix}=
\frac1{10}(10,-10,20,20)=(1,-1,2,2)$.
Vzdialenosť = dĺžka priemetu = $\sqrt{1^2+1^2+2^2+2^2}=\sqrt{10}$

Pomocná nadrovina. Chceme nadrovinu obsahujúcu $\alpha$ a rovnobežnú s~$p$. Vektorová zložka je $V=V_p+V_\alpha$ a teda normálový vektor môžeme zistiť z $V^\bot=[(1,-1,2,2)]$. Okrem toho môžeme zobrať ľubovoľný bod a~$\alpha$ napríklad $A=(-7,-2,0,0)$.. Rovnica nadroviny je
$$x_1-x_2+2x_3+2x_4+5=0.$$
Vzdialenosť bodu $P=(0,1,2,1)$, ktorý patrí tejto priamke, od pomocnej nadroviny je
$$\frac{\abs{-1+4+2+5}}{\sqrt{1^2+1^2+2^2+2^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}.$$

\emph{Stredná priečka.} Vektor $\vekt{AB}=(7,3,2,1)$ rozložíme na zložky patriace do $V_p$, $V_\alpha$ a $(V_p+V_\alpha)^\bot$.\\
(-3,-1,1,0),(0,0,1,-1)
Spoiler:
$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-3 & 0 & 1 & 7 \\
-1 &-1 & 0 &-1 & 3 \\
-1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 &-1 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 &-4 & 0 & 0 &10 \\
1 & 1 & 0 & 1 &-3 \\
0 & 2 & 1 & 3 &-1 \\
0 & 0 &-1 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac52 \\
1 & 0 & 0 & 1 &-\frac12 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 0 &-1 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac52 \\
1 & 0 & 0 & 1 &-\frac12 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 5
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 &-\frac32 \\
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac52 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$
Dostali sme: $\vekt{AB}=\vec a+\vec b+\vec c=\underset{\in V_p}{\underbrace{(-\frac32,\frac32,\frac32,0)}}+\underset{\in V_\alpha}{\underbrace{(\frac{15}2,\frac52,-\frac32,-1)}}+\underset{\in V^\bot}{\underbrace{(1,-1,2,2)}}$.
Potom máme pre body $B'=B-\vec a$, $A'=A+\vec b$ rovnosť $\vekt{A'B'}=\vec c$, teda:
$B'=(\frac32,-\frac12,\frac12,1)$, $A'=(\frac12,\frac12,-\frac32,-1)$, $\vekt{A'B'}=(1,-1,2,2)$.
Súčasne $B'\in\mathcal B_p$ a $A'\in\mathcal B_\alpha$, takže úsečka $A'B'$ je stredná priečka.

Poznámky

Viacerí ste najprv - ešte pred začatím ďalších výpočtov - overovali že $p$ a $\alpha$ sú mimobežné.
To v podstate netreba. (Aj keď skoro pri každom spôsobe nejako vypočítame aj niečo z čoho sa dá zistiť dimenzia prieniku a teda aj vzájomná poloha.)
Bez ohľadu na to, aká je vzájomná poloha, platí že ak máme afinné podpriestory určené bodmi $P_{1,2}$ a vektorovými zložkami $V_{1,2}$, tak nám stačí zobrať $V=(V_1+V_2)^\bot$ a vypočítať dĺžku kolmého priemetu $\overrightarrow{P_1P_2}$ do $V^\bot$. Alebo rátať vzdialenosť rovnobežných afinných podpriestorov $P_1+V$ a $P_2+V$.
(Samozrejme, pri tomto výpočte budeme chcieť nájsť bázu a dimenziu $V$, takže z toho už máme dosť veľa informácií o vzájomnej polohe.)