Úloha 3.2.10 c), d)

[MatejStubniak]

c)

$A =
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 \\
0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}$

$ch_A(x) = (-1-x)^2(-2-x)$, takže vlastné čísla sú $-1$ a $-2$.
Pre číslo $-1$ dostávame podmienku $x_1 = -x_2$, príslušné vlastné vektory sú teda nenulové vektory z podpriestorov $[(-1,1,1)]$ a $[(1,-1,1)]$.
Pre číslo $-2$ dostávame podmienky $x_1 = 0$ a $x_2 = -x_3$, z toho dostávame podpriestor $[(0,-1,1)]$.
Vieme teda určiť výslednú maticu:

$P =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}$

d)

$A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

$ch_A(x) = (1-x)^2(2-x)$, takže vlastné čísla sú $1$ a $2$.
Pre číslo $1$ dostávame podmienky $x_1 = -x_2$ a $x_3 = 0$ a teda podpriestor $[(-1,1,0)]$.
Pre číslo $2$ dostávame podmienky $x_1 = 0$ a $x_3 = 0$ a teda podpriestor $[(0,1,0)]$.
Spomedzi vlastných vektorov vieme vybrať najviac dva lineárne nezávislé vektory, teda nevieme z nich vybrať bázu, čo podľa Vety 3.2.3 znamená, že matica $A$ nie je podobná so žiadnou diagonálnou maticou (čiže požadovaná matica $P$ neexistuje).