Jordanov tvar

[Martin Sleziak]

Zadania a výsledky

Pripomeniem, že viacero príkladov na Jordanov tvar nájdete vyriešených na fóre: viewtopic.php?t=1509

Úlohou bolo nájsť Jordanov tvar.

Skupina A

$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$

Skupina B

$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$

skupina C

$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$


skupina D

$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$

[Martin Sleziak]

Riešenie

Ukážme si aj postup výpočtu aspoň pre niektoré skupiny.

Charakteristický polynóm vyjde vo všetkých skupinách rovnako.
$\chi_A(x)=|xI-A|=
\begin{vmatrix}
x-1&-1 & * & * \\
-1 &x-1& * & * \\
0 & 0 &x-1&-1 \\
0 & 0 &-1 &x-1\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x-1&-1 \\
-1 &x-1\\
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
x-1&-1 \\
-1 &x-1\\
\end{vmatrix}=[(x-1)^2-(-1)^2]=x^2(x-2)^2
$

V tomto okamihu vieme, že $0$ a $2$ sú dvojnásobné vlastné hodnoty. Ku každej z nich môžeme mať buď dva bloky veľkosti $1$ alebo jeden blok veľkosti $2$.

Počet blokov k vlastnej hodnote $\lambda$ vieme zistiť ako počet lineárne nezávislých vlastných vektorov k $\lambda$. Alebo tiež ako $n-h(A-\lambda I)$.
(Vlastne pri hľadaní vlastných vektorov riešime homogénnu sústavu $(A-\lambda I)^T$, takže pri tomto výpočte vlastne zistíme aj hodnosť matice $(A-\lambda I)$, takže vidno, že tieto výpočty spolu súvisia.)

Vlastné vektory - skupina A.

Pre vlastnú hodnotu $0$: $[(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)]$

Spoiler:

$A^T=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Pre vlastnú hodnotu $2$: $[(0,0,1,1)]$

Spoiler:

$(A-2I)^T=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-1 & 0 & 0 \\
3 & 3 &-1 & 1 \\
3 & 3 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 3 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 2 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Dimenzia vlastného podpriestoru mi hovorí o počte blokov k danej vlastnej hodnote.
Dostali sme dva bloky pre nulu, jeden blok pre dvojku. Takže vidíme, že
$$J=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$

Vlastné vektory - skupina B.

Pre vlastnú hodnotu $0$: $[(0,0,1,-1)]$

Spoiler:

$A^T=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
-2 & 2 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-1 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Pre vlastnú hodnotu $2$: $[(0,0,1,1)]$

Spoiler:

$(A-2I)^T=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-1 & 0 & 0 \\
3 & 1 &-1 & 1 \\
1 & 3 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 &-1 & 1 \\
4 & 4 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 1 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Vidíme teda, že pre obe vlastné hodnoty máme jeden blok, a teda:
$$J=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$

[Martin Sleziak]

Poznámky

Z charakteristického polynómu vieme aj to, koľkokrát sa vyskytne vlastná hodnota v Jordanovom tvare.
Vieme, že $\chi_A(x)=\chi_J(x)=x^2(x-2)^2$, takže v $J$ bude na diagonále 2-krát nula a 2-krát dvojka.
Teda nemusím napríklad nad možnosťou, že by sme mali jeden blok veľkosti $1\times1$ a jeden blok veľkosti $3\times3$.