Prenášky ZS 2020/2021

[jaroslav.gurican]

Informacie o skuske su v tejto stranke http://thales.doa.fmph.uniba.sk/gurican ... kuska.html

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[jaroslav.gurican]

1. prednáška (21.9.)
Definícia funkcie/zobrazenia. (Binárne) operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý, pravý a obojstranný neutrálny prvok, jednoznačnosť), komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (ľavý, pravý, obojstranný, jednoznačnosť obojstranného inverzného prvku pre asociatívne operácie).

Nerobili sme zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní ani pre viac ako 3 prvky. Ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať.

[jaroslav.gurican]

2. prednáška (28. 9.) Grupy, príklady a kontrapríklady, včítane $Z_n$ a operácií $\oplus, \otimes$. Lema o riešení rovníc v grupe, krátenie (zľava, sprava) v grupe. Charakterizácia grúp pomocou riešenia rovníc typu $a\circ x=b$ a $y\circ a=b$ za predpokladu, že operácia je asociatívna. Dôkaz sme celkom nedokončili.

[jaroslav.gurican]

3. prednáška (5. 10.) Dokončenie dôkazu vety z 2.prednášky, dôsledok o tom, že ak máme konečnú neprázdnu množinu $G$ a $\circ$ je asociatívna operácia na G a pre operáciu $\circ$ platia obidva zákony o krátení, tak $(G,\circ)$ je grupa. (posledná veta a dôsledok nie sú v skriptách, presnejšie sú v skriptách pre 2. semester, ale tam sú to (hviezdičkové) cvičenia).

Polia. Definícia, príklady. Komentár o správaní sa nuly a neskôr dôkaz tvrdenia, že (okrem iného, celá veta má 4 položky), že v poli $(F,+,\dot)$ pre všetky prvky $a\in F$ platí $a \cdot 0 = 0 = 0 \cdot a$.
Veta: $(Z_n,\oplus,\otimes)$ je pole práve vtedy, keď $n$ je prvočíslo. "Ťažšiu" časť dôkazu sme spravili pomocou dôsledku o grupách.

[jaroslav.gurican]

4. prednáška (12. 10. 2020)
Vektorové priestory. Definícia, príklady. Základné vlastnosti (počítanie s nulou a s nulovým vektorom, opačné vektory a násobenie skalárom -1,...)
Podpriestory vektorových priestorov. Definícia, príklady, vlastnosti.

[jaroslav.gurican]

5. prednáška (19. 10. 2020)
Lineárne kombinácie vektorov, lineárna závislosť a lineárna nezávislosť. Dostali sme sa po Steinitzovu vetu o výmene, z tej sme z dôkazu indukciou zatiaľ spravili prvý krok indukcie.

[jaroslav.gurican]

6. prednáška (26. 10. 2020)
Dokončili sme dôkaz Stenitzovej vety o výmene.

Definícia konečnegenerovaného (= konečne rozmerného) vektorového priestoru. Definícia bázy v.p. Základné vlastnosti bázy. Definícia dimenzie (rozmeru) v.p. Dostali sme sa po vetu 4.4.14 (včítane).

[jaroslav.gurican]

7. prednáška (2. 11. 2020)

Dokončenie kapitoly o báze a dimenzii (okrem iného veta o tom že podpriestor konečne generovaného v.p. je konečne generovaný a jeho dimenzia je menšia alebo sa rovná dimzenzii "základného" v.p.).

Kapitola "Lineárne a direktné súčtu podpriestorov" bola daná na samostatné preštudovanie.

Matice nad poľom $F$. Definícia, súčet matíc (rovnakého typu), vynásobenie matice skalárom z poľa $F$. Matice typu $n\times m$ nad $F$ ako vektorový priestor nad poľom $F$.

Elemtárne riadkové operácie na maticiach a riadková ekvivalencia matíc typu $n\times m$. Špeciálne matice - štvorcové matice, jednotková matica, diagonálne matice. Transponovanie matíc.

[jaroslav.gurican]

8. prednáška (9. 11. 2020)

Redukovaná trojuholníková (trojuholníková redukovaná) matica, veta (algoritmus) o tom že každá matica nad poľom $F$ je riadkovo ekvivalentná s redukovanou troj. maticou.
Nezávislosť nenulových riadkov red. troj. matice, hodnosť ($h(A)$) matice $A$. Zistenie, kedy sa vektor $\alpha$ nachádza v riadkovom priestore $V_A$ reduk. troj. matice $A$ (popis je pomocou nenulových riadkov matice $A$, samozrejme - lema 5.4.14 ).

[jaroslav.gurican]

9. prednáška (16. 11. 2020)

Vety o jednoznačnosti red. trojuholníkovej matice riadkovo ekvivalentnej s maticou $A$ (veta 5.2.15, dôsledok 5.2.17).

Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, obraz nulového vektora v lineárnom zobrazení je nulový vektor.
Základná veta o lineárnych zobrazeniach. Kompozícia lineérnych zobrazení (ak sa danú zložiť) je lin. zobrazenie. Inverzné zobrazenie ku bijektívnemu li, zobrazeniu je lineárne zobrazenie.
Matica lineárneho zobrazenia $f\colon F^m\to F^n$.