msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť - aby si mohli pozrieť, čo sa vlastne robilo.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach alebo cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Budem sa snažiť s oboma skupina robiť dosť podobné veci, čiže snáď sa to bude dať zmysluplne písať do toho istého topicu.

Určite cvičenia nebudú úplne presne totožné s tým, čo sme robili po minulé roky. Ak sa chcete pozrieť, čo sa robilo na cvičeniach v minulosti, môžete sa pozrieť tu:
viewtopic.php?t=1304 a viewtopic.php?t=1305
viewtopic.php?t=1141
viewtopic.php?t=716
viewtopic.php?t=311

EDIT: Skupina 1INF1 sa po prechode na dištančnú výuku pripojila k 1INF3.

Nahrávky prednášok/cvičení z tohoto predmetu by sa v mali dať nájsť v tejto skupine. (Prístupné by mali byť ľuďom priradeným k tomuto predmetu.)

1. cvičenie: (22.9. a 23.9.)
Na prvom cvičení bola vlastne prednáška - prebrali sme funkcie.
Stihli sme: Definíciu zobrazenia, skladanie zobrazení. Injektívne, surjektívne, bijektívne zobrazenia. Zloženie injekcií, (surjekcií, bijekcií) je opäť injekcia (surjekcia, bijekcia)
Definícia inverzného zobrazenia.
Stihol som ešte vysloviť vetu, že k $f$ existuje inverzné zobrazenie, práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. Dôkaz som však už nestihol - ten zostal nabudúce.
Takisto som povedal bez dôkazu, čomu sa rovná $f^{-1}$ a $(g\circ f)^{-1}$. (Toto som s druhou skupinou nestihol.)
V texte k prednáške sme teda zašli po tvrdenie 2.2.16 a tvrdenie 2.2.17 - ani k jednému som však zatiaľ neurobil dôkaz.

Pridám ešte linku na dôkaz tvrdenia o tom, aký je súvis injektívnosti/surjektívnosti s existenciou ľavého či pravého inverzného zobrazenia: viewtopic.php?t=68
(Táto vec je v texte uvedená medzi cvičeniami. Na cviku som o ľavých a pravých inverzných zobrazeniach nehovoril - stručne k tomu asi ešte poviem niečo nabudúce.)

2. cvičenie: (29.9.)

Zobrazenia. Povedali sme si niečo o ľavom a pravom inverznom zobrazení.
Ukázali sme, že:
a) Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
b) Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
Dokázali sme, že inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. (V poznámkach sú uvedené dva dôkazy, robil som jeden z nich.)

Permutácie. Povedali sme si niečo o permutáciách a ich skladaní. Ukázali sme, ako sa vypočíta zložená permutácia, inverzná permutácia a $\tau^n$ pre nejakú permutáciu $\tau$. (V podstate sme prešli podkapitolu 2.3 z poznámok.)
Povedali sme si, že $\tau^k\circ\tau^l=\tau^{k+l}$ a $(\tau^k)^l=\tau^{kl}$.
Pre permutácie
$$\varphi=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 2 & 5 & 4 \\
\end{pmatrix} \qquad
\tau=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 3 & 2 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix}$$
sme vyrátali ich zloženie (v oboch poradiach) a inverzné permutácie. Všimli sme si, že $\varphi^2=id$ a hľadali sme pre aké $n$ platí $\tau^n=id$.
Spomenul som, že $(S_n,\circ)$ (množina všetkých permutácií množiny $\{1,2,\dots,n\}$ s operáciou skladania) je pre $n\ge3$ nekomutatívna grupa. (Na vyššie uvedenom príklade sme videli, že pre $n=5$ to nie je komutatívne.)
So stredajšou skupinou sme sa stihli pozrieť aj na to, ako pre danú permutáciu vypočítať veci ako $\tau^{40}$.

Grupy a binárne operácie.
Mali sme zadanú tabuľku
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
& a & b & c & d \\\hline\hline
a & & & & \\\hline
b & & & & d \\\hline
c & & & d & \\\hline
d & & & & \\\hline
\end{array}
$$
a vedeli sme, že to je tabuľka grupovej operácie - úlohou bolo doplniť celú tabuľku.
V súvislosti s tým sme si povedali, ako sa na tabuľke prejaví komutatívnosť, zákony o krátení, riešiteľnosť rovníc. A tiež ako v nej vidno neutrálny a inverzný prvok.
(So stredajšou skupinou som túto úlohu nestihol celú dokončiť.)

Na konci som spomenul, že tabuľka ktorá nám vyšla je len poprehadzovaná tabuľka $(\mathbb Z_4,\oplus)$.
Takéto niečo, že rovnaká tabuľka znamená v podstate rovnaké operácie ešte stretneme neskôr v súvislosti s pojmom izomorfizmu grúp: viewtopic.php?t=495

3. cvičenie: (7.10.)
Binárne operácie a grupy.
Pozreli sme sa na overenie či daná množina s binárnou operáciou je grupa. Najprv pár jednoduchých príkladov, ako napríklad $\mathbb Z$ a $\mathbb Q$ so sčitovaním a násobením (prípadne po vynechaní nuly).
Potom sme sa pozreli na $\mathbb R$ s operáciou $a*b=a+b-1$ a na $\mathbb R$ resp. $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$. To sú úlohy 3.2.1h a 3.2.3.
Trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny. (T.j. keď sme asociatívnosť a komutatívnosť ukázali pre celé $\mathbb R$, tak to platí aj po zúžení na $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Ale treba byť opatrnejší, ak sa pýtame, či je to binárna operácia a tiež či má neutrálny a inverzný prvok.)
Niečo k tejto grupe je aj tu: viewtopic.php?t=495 (Píše sa tam niečo o izomorfizme grúp - čo bude až v budúcom semestri. Ale nejaký intuitívny pohľad na to, čo znamená že dve grupy sú izomorfné, by sa dal získať aj keď človek vie o grupách iba základné veci.)
Úloha 3.2.11: Videli sme, že v grupe je zobrazenie $f_a\colon G\to G$, $f_a(x)=a*x$ bijekcia. (Dokázali sme to tak, že sme overili, že $f_{a^{-1}}$ je k nemu inverzné. Môžete sa zamyslieť nad dôkazom priamo z definícii - overenie, že to je injekcia a surjekcia. Mali by ste prísť na to, že to súvisí so zákonmi o krátení a s riešiteľnosťou rovníc v grupe.)
Skontrolovali sme, že ak je binárna operácia asociatívna, tak všetky "zmysluplné" uzátvorkovania štyroch prvkov dajú ten istý výsledok - príklad 3.1.13 v texte. (Takisto máte v texte - nepovinný - dôkaz, že to funguje pre ľubovoľný počet prvkov.)
Spomenul aj to, že počet takýchto uzátvorkovaní je Catalanove číslo. To je téma z kombinatoriky, nie z algebry - ale ak by niekoho zaujala, tak tu je linka.

Tu sa dajú pozrieť veci, ktoré som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201007.zip

Video z cvičení by malo byť nahraté cez MS Teams alebo na tejto linke. (A malo by byť prístupné pre ľudí priradených k tomuto predmetu.)
Dnes nikto neprotestoval proti tomu aby sa cviko nahrávalo - ak nezabudnem, tak sa opýtam aj v budúcnosti, ale viac-menej beriem teda ako defaultnú pozíciu, že nahrávanie je z vášho pohľadu ok.

4. cvičenie: (14.10.)
Polia.
Overovali sme, či nejaké množiny reálnych čísel s obvyklým sčitovaním a násobením tvoria pole. Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti sme mali zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne sme zistili, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):

• $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
• $F_2=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
• $F_3=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.

(Je to v podstate úloha 3.3.2 z poznámok k prednáške - len som niektoré časti trochu zmenil aby sme nemuseli robiť s komplexnými číslami.)
Posledný príklad považujem za náročnejší, ale tie predtým beriem ako štandardné úlohy, ktoré by mala väčšina z vás zvládnuť.
Pripomeniem, že v týchto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
\begin{gather*}
a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0\\
a+b\sqrt2=c+d\sqrt 2 \Leftrightarrow a=c \land b=d
\end{gather*}
Podobne sme ukázali, že
$$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0 \Leftrightarrow a=b=c=d=0.$$
Tu sa ukázalo užitočným všimnúť si, že $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)\sqrt3=x+y\sqrt2$ pre vhodné $x,y\in F_1$. Toto by mohlo pomôcť aj pri hľadaní inverzného prvku (to už je časť, ktorú sme nestihli).

Pridám tu ešte linku na niečo o poli $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$: viewtopic.php?t=349
Viac-menej to isté je i v texte v príkladoch 4.4.21 a 6.5.6. (Na prednáške/cvičeniach sa nám tieto veci pravdepodobne stihnúť nepodarí - dozviete sa však všetky veci, ktoré sa v týchto príkladoch využívajú.)
Snáď je zaujímavé vedieť, že nejaké veci, ktoré sa naučíme na tomto predmete, nám môžu výrazne zjednodušiť dôkaz toho, že toto tiež bude pole. (Neskôr - na Algebre 2 - sa budeme zaoberať podobnými vecami o dosť všeobecnejšie.)

Ukázali sme si, že z $a^2=1$ vyplýva $a=1$ alebo $a=-1$. Popritom sme sa pozreli na to, že že v každom poli platí $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Vektorové priestory.
Pozreli sme sa na počítanie v $\mathbb R^3$ a $(\mathbb Z_p)^3$.
Ukázali sme si počet prvkov v $(\mathbb Z_3)^n$ a to že v tomto priestore platí $\vec\alpha+\vec\alpha+\vec\alpha=\vec0$. (Úloha 4.1.8.)

Pripomeniem, že sme sa už rozprávali aj o písomke. Dohodli sme sa, že písomky budú v termínoch utorok 8.10, prvá písomka by bola 27. októbra.

Tu sa dajú pozrieť veci, ktoré som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201014.zip

Video je rozdelené na dve časti, zhruba v polovici cvičenia sme sa rozprávali o organizačných veciach okolo písomky - to sme nenahrávali.
Prvé video: polia so $\sqrt2$, $\sqrt3$ a $\sqrt6$. Druhé video: ešte niečo k poliam a začiatok vektorových priestorov.

5. cvičenie: (21.10.)
Podpriestory. Niekoľko úloh typu zistiť, či daná podmnožina $\mathbb R^3$ resp. $\mathbb R^{\mathbb R}$ je podpriestor (Niektoré časti z úloh 4.2.3 a 4.2.4, konkrétne 4.2.3a,b,c,d,e a 4.2.4a,c.)
Pri príkladoch v $\mathbb R^3$ sme spomenuli, že sme videli viacero podpriestorov v tomto priestore: nulový podpriestor, priamka (prechádzajúca cez nulu), rovina (prechádzajúca cez nulu), celý priestor. Z vecí, čo budú na prednáške čoskoro nasledovať, bude vidieť to, že v $\mathbb R^3$ už iné podpriestory nie sú.
Vektorové priestory.
$\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$ - úloha 4.1.10. (Poznamenám, že toto vyzeralo dosť triviálne - všetky vlastnosti boli jasné takmer na prvý pohľad. Uvedomiť si, že ak mám takto dvojicu polí tak sa dá na to pozerať ako na vektorový priestor je často užitočné. Dôležité to bude keď budeme robiť s rozšíreniami polí na Algebre 2. Spomeniem ešte raz tento príklad: viewtopic.php?t=349 - kde sa dá s vecami čo budete brať tento semester aspoň niečo zaujímavé ukázať.)
Úloha 4.1.15: Vektorový priestor, kde na $\mathbb R^+$ sme mali neobvyklo definované sčitovanie a násobenie skalárom: $x\oplus y=x\cdot y$, $c\odot x=x^c$.
Síce sme ten pojem ešte nedefinovali, ale spomeniem, že viaceré z priestorov ktoré sme dnes spomenuli sú nekonečnorozmerné (konkrétne $F^{\mathbb N}$, t.j. priestor postupností; všeobecnejšie $F^M$ pre nekonečnú množinu $M$; takisto aj $\mathbb R$ ako vektorový priestor nad $\mathbb Q$ je nekonečnorozmerný.)

Veci, čo som písal na "tabuľu": https://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201021.zip
Video je rozdelené na viac častí (jednak kvôli nejakým technickým problémom a dvak, že v strede sme sa rozprávali o organizačných veciach k písomke a tú časť sme nenahrávali): Podpriestory 1, Podpriestory 2. Vektorové priestory.

Tento týždeň sme písali písomku, takže cvičenie nebude.
Ale aj tak napíšem, že niekedy zhruba v čase začiatku cvika sa objavím online - v tom meetingu, kde mávame na cviko. Ak sa nájdu nejakí ľudia, čo majú nejaké otázky, tak sa na ne môžeme pozrieť - napríklad ak budete chcieť vedieť niečo k tomu ako sa mali riešiť úlohy z písomky alebo budete mať otázky k čomukoľvek inému, čo sa teraz preberá.
(Každopádne je to nepovinné - avizujem to len ako príležitosť na konzultácie pre prípadných záujemcov.)

6. cvičenie (4.11.)
Lineárna závislosť a nezávislosť. Pripomenuli sme definíciu lineárnej (ne)závislosti a porozprávali sme sa o tom, čo nám táto definícia dá pre jeden, dva resp. tri vektory (úlohy 4.3.8).
Pozreli sme sa na lineárnu nezávislosť v niektorých priestoroch tvaru $F^n$; konkrétne úloha 4.3.5 b,d. A tiež na lineárnu nezávislosť v priestore $\mathbb R^{\mathbb R}$; stihli sme 4.3.6a,c,e.
Vyriešili sme úlohy 4.3.7 - pozreli sme sa na nezávislosť $\vec\alpha+\vec\beta$, $\vec\alpha+\vec\gamma$, $\vec\beta+\vec\gamma$ nad $\mathbb R$ a $\mathbb Z_2$.
Drobná poznámka k úlohám o závislosti/nezávislosti vektorov z $F^n$, že: Zatiaľ sme takéto úlohy riešili pomocou sústavy lineárnych rovníc. V rámci tohoto predmetu sa jednak naučíme efektívnejší zápis ako sa sústavy dajú zapisovať a počítať, okrem toho budeme aj vidieť iné možnosti ako o daných vektoroch zistiť či sú lineárne závislé/lineárne nezávislé.
Pri práci v $\mathbb R^{\mathbb R}$ sme využívali aj to, že polynóm sa rovná nule práve vtedy, kedy sú všetky koeficienty nulové. To súvisí aj s tým, že počet koreňov nenulového polynómu je nanajvýš taký ako jeho stupeň. Niečo viac som k tomu napísal tu: viewtopic.php?t=1349 (Je to v inom subfóre - keďže táto vec sa vyskytuje aj na inom predmete.)

Veci čo som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201104.zip (Tentokrát som vyskúšal MS Whiteboard, preto je to celé v jednom veľkom súbore, nie po častiach ako minule.)
Video z cvičenia: https://web.microsoftstream.com/video/b ... 81df0d44ec

7. cvičenie (11.11.)
Vlastne všetky úlohy, ktoré sme dnes rátali, boli také, kde sa dali použiť riadkové operácie a úprava na redukovanú trojuholníkovú maticu. Typov úloh, kde sa dajú tieto veci použiť, bude ešte veľmi veľa: viewtopic.php?t=540
Konkrétne sme sa pozreli na úlohy 5.2.11a (nájsť bázu a dimenziu), 5.2.4, 5.2.5 (patrí vektor do lineárneho obalu daných vektorov resp. porovnanie dvoch lineárnych obalov), 5.2.2 a,b,c (doplnenie na bázu)
Povedali sme si ako sa dá robiť čiastočná skúška správnosti pri úprave na RTM (viewtopic.php?t=531 a poznámka 5.2.18)

Veci čo som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201111.zip
Video z cvičenia: https://web.microsoftstream.com/video/e ... c724c0c99d

8. cvičenie (18.11.)
Urobili nejaké príklady na výpočet hodnosti matice s parametrom, konkrétne dve matice z úlohy 5.2.8. Povedali sme si, že platí $h(A)=h(A^T)$ a že pri výpočte hodnosti sa môžu používať aj stĺpcové operácie (dôkaz bude neskôr na prednáške).
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Pozreli sme sa aj na takýto príklad (ktorý nie je v texte): Ak sa to dá, doplňte dané vektory $\vec\alpha_1=(1,2,1,1,4)$, $\vec\alpha_2=(2,4,2,1,0)$ na bázu priestoru $S=[(1,0,0,0,1),(0,1,0,0,2),(0,0,1,0,1),(0,0,0,1,3)]\subseteq(\mathbb Z_5)^5$.

Matica zobrazenia. Povedali sme si niečo o výpočte matice zobrazenia. (Úloha 5.3.1 je vyriešená v poznámkach k prednáške.)

Veci čo som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201118.zip
Video z cvičenia: https://web.microsoftstream.com/video/0 ... 52c77589d0