msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

1. týždeň:

1. prednáška: (22.9.)
Úvod: Trochu som hovoril také úvodné a motivačné reči o tom, čo vlastne by ste tento semester na tomto predmete mohli počuť. V podstate sa to dá stručne zhrnúť tak, že:
* Veľa pojmov, ktoré poznáte pre metrické priestory budeme tu študovať pre topologické priestory, čo je všeobecnejšia štruktúra. (Medzi kľúčové pojmy patria spojitosť, konvergencia, kompaktnosť.)
* Stručne som naznačil ako sa pomocou sietí ukáže, že existuje nejaký prvok z $\ell_\infty^*\setminus\ell_1$ - s tým, že neskôr si ukážeme túto vec poriadne a dokonca viac spôsobmi. (A nejako som sa snažil naznačiť, že kompaktnosť nám môže často pomôcť dostať nejaký objekt z vhodných aproximácií.)

Pridám takúto linku, kde sa dá pozrieť aj na iné spôsoby ako zdôvodniť takúto vec: Dual of $l^\infty$ is not $l^1$. (Napríklad pomocou Hahn-Banachovej vety. Na tomto predmete nás ale viac bude zaujímať dôkaz, ktorý využíva kompaktnosť a konvergenciu sietí resp. filtrov.)

Topologické priestory. Definícia topologického priestoru, uzavretá množina. Pár jednoduchých príkladov: Diskrétny a indiskrétny priestor, Sierpińského priestor, topológia odvodená od metriky.

2. prednáška: (24.9.)
Obojaké množiny. Kofinitná a kospočítateľná topológia.
Báza topológie. Definícia. Charakterizácia bázy topológie a generovanie topológie z bázy. Sorgenfreyova priamka
Báza okolí. Definícia. Systém otvorených množín $\mathcal B$ je báza p.v.k. pre každý bod určuje bázu okolí. Charakterizácie bázy okolí pozostávajúcej z otvorených množín a generovanie topológie z báz okolí. Mooreova rovina

2. týždeň:

3. prednáška: (29.9.)
Uzáver a vnútro. Definovali sme uzáver množiny, ukázali sme si ekvivalentný popis a ukázali nejaké základné vlastnosti. Bez dôkazu sme si povedali, aké podmienky musí spĺňať operátor uzáveru, aby sa z neho dala dostať topológia.
Zjednotenie uzáverov (a zjednotenie uzavretých množín) pre lokálne konečné systémy.
Vnútro množiny som iba zadefinoval a povedal v akom vzťahu je s uzáverom.
Husté množiny. Definícia hustej množiny a ekvivalentná charakterizácia. Pre hustú množinu $D$ a otvorenú množinu $U$ platí $\overline{U\cap D}=\overline U$.
Subbáza. Definícia subbázy a jej súvis s bázou. Bez dôkazu som spomenul, že $\mathcal S$ je subbáza nejakej topológie práve vtedy, keď $\bigcup\mathcal S=X$.

4. prednáška: (1.10.)
Separabilné priestory, prvá a druhá axióma spočítateľnosti. Definovali sme tieto pojmy: Prvá axióma spočítateľnosti, druhá axióma spočítateľnosti, separabilný priestor. Ukázali nejaké vzťahy medzi nimi a aj nejaké príklady.
Konkrétne sme videli, že priestor so spočítateľnou bázou topológie súčasne spĺňa prvú axiómu spočítateľnosti a je separabilný. Pre metrické priestory platí, že separabilný priestor už nutne musí mať spočítateľnú bázu topológie.
Videli sme, ktoré z týchto podmienok spĺňajú Sorgenfreyova priamka, diskrétny priestor, reálna os.
Na konci sme sa pozreli na to, že priestor $\ell_\infty$ nie je separabilný, zatiaľčo $\ell_1$ a $C[0,1]$ sú separabilné: viewtopic.php?t=1583