Separabilné Banachove priestory
Posted: Thu Oct 01, 2020 6:24 pm
Dnes prišla reč na nejaké Banachove priestory a na otázku, či sú resp. nie sú separabilné. (Spomenul som napríklad aj to, že každý Banachov priestor, ktorý má Schauderovu bázu, je nutne separabilný.)
Konkrétne sme ukázali, že $\ell_\infty$ nie je separabilný. (Postupnosti obsahujúce len nuly a jednotky nám dajú $\mathfrak c$ bodov, ktoré majú vzájomnú vzdialenosť $1$.)
Stručne sme si povedali ako dokázať, že $\ell_p$, $1<p<\infty$, sú separabilné. (Hustú množinu dostaneme z postupností, ktoré majú iba racionálne členy a od istého miesta sú nulové.)
A tiež, že $C[0,1]$ je separabilný, pričom by sme využili, že polynómy tvoria hustú podmnožinu; na základe Stone-Weierstrassovej vety. A potom by sme sa ešte obmedzili na polynómy s racionálnymi koeficientami a ukázali, že takto stále vieme aproximovať všetky spojité funkcie na intervale $I=[0,1]$.
Pridám nejaké linky:
Konkrétne sme ukázali, že $\ell_\infty$ nie je separabilný. (Postupnosti obsahujúce len nuly a jednotky nám dajú $\mathfrak c$ bodov, ktoré majú vzájomnú vzdialenosť $1$.)
Stručne sme si povedali ako dokázať, že $\ell_p$, $1<p<\infty$, sú separabilné. (Hustú množinu dostaneme z postupností, ktoré majú iba racionálne členy a od istého miesta sú nulové.)
A tiež, že $C[0,1]$ je separabilný, pričom by sme využili, že polynómy tvoria hustú podmnožinu; na základe Stone-Weierstrassovej vety. A potom by sme sa ešte obmedzili na polynómy s racionálnymi koeficientami a ukázali, že takto stále vieme aproximovať všetky spojité funkcie na intervale $I=[0,1]$.
Pridám nejaké linky:
- Why is $l^\infty$ not separable?
- Separability of $l^{p}$ spaces a Prove that sequence space $\ell_p(\mathbb R)$ is separable
- The separability of $c, c_0$ and $c_{00}$
- A proof that $C[0,1]$ is separable
- Fabián, Habala et. al.: Banach space Theory, Proposition 1.42: $\ell_p$, $c$, $c_0$ sú separabilné, $\ell_\infty$ nie je separabilný
- Tá istá kniha, Proposition 1.43: $C[0,1]$, $L_p$ sú separabilné,$L_\infty$ nie je separabilný
- Theorem 11.2 v N. L. Carother: Real Analysis; iný dôkaz, že $C[0,1]$ je separabilný. (Najprv sa spojité funkcie aproximujú vhodnými lomenými čiarami a potom ich ešte upravíme tak, aby nadobúdali v bodoch zlomu iba racionálne hodnoty.)