Kontrapríklady v grupách ($x*x=e$, $x*x=y*y$)

[Martin Sleziak]

V každej skupine bolo úlohou zistiť, či tvrdenie platí.
Ak tvrdíte, že platí, tak by ste ho mali dokázať.
Ak tvrdíte, že neplatí, tak by ste mali nájsť nejaký kontrapríklad.

Skupina 1:

Zadanie:
Zistite, či uvedené tvrdenie platí -- ak áno, dokážte ho; ak nie, nájdite kontrapríklad.
Nech $(G,*)$ je grupa a $x\in G$. Ak platí $x*x=x$, tak $x=e$; t.j. $x$ je neutrálny prvok.

Riešenie:
Ak máme rovnosť $x*x=x$, tak po vynásobení oboch strán $x^{-1}$ dostaneme $x=e$.

Inak: Ak platí $x*x=x$, t.j. $x*x=x*e$, tak zo zákona o krátení dostaneme $x=e$.

******

Skupina 2 (a 3):

Zadanie:
Zistite, či uvedené tvrdenie platí -- ak áno, dokážte ho; ak nie, nájdite kontrapríklad.
Nech $(G,*)$ je grupa a $x\in G$. Ak platí $x=x^{-1}$, tak $x=e$; t.j. $x$ je neutrálny prvok.

Oplatí sa uvedomiť si, že $x=x^{-1}$ je to isté ako $x*x=e$. Takže zadanie v tretej skupine je vlastne to isté, iba inak sformulované.

Kontrapríklady:

• $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$ a $x=-1$
• $(\mathbb Z_2,\oplus)$ a $x=1$ alebo všeobecnejšie $(\mathbb Z_{2k},\oplus)$ a $x=k$
• Nejaká grupa permutácií, pričom zoberieme permutáciu, ktorá obsahuje iba cykly dĺžky $2$ (a prípadne $1$). Napríklad $\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{smallmatrix}\right)$ v $(S_3,\circ)$

******

Skupina 4:

Zadanie:
Zistite, či uvedené tvrdenie platí -- ak áno, dokážte ho; ak nie, nájdite kontrapríklad.
Nech $(G,*)$ je grupa a $x,y\in G$. Ak platí $x*x=y*y$, tak $x=y$.

Kontrapríklady:
Funguje akýkoľvek kontrapríklad zo skupiny 2, ak za $y$ vezmeme neutrálny prvok.
(A dá sa nájsť aj veľa iných kontrapríkladov.)

[Martin Sleziak]

Aby príklad, ktorý ste uviedli, bol skutočne kontrapríkladom, musí naozaj ísť o grupu.

$(\mathbb Z,\cdot)$ nie je grupa. Veľa prvkov tu nemá inverzný prvok na násobenie. (Vlastne jediné prvky, ktoré majú multiplikatívny inverz v $\mathbb Z$ sú $\pm1$.)

Množina $\mathbb R^+$ s operáciou delenia nie je grupa. Táto operácie nie je asociatívna, nemá ani neutrálny prvok.