Ak tvrdíte, že platí, tak by ste ho mali dokázať.
Ak tvrdíte, že neplatí, tak by ste mali nájsť nejaký kontrapríklad.
Skupina 1:
Zadanie:
Zistite, či uvedené tvrdenie platí -- ak áno, dokážte ho; ak nie, nájdite kontrapríklad.
Nech $(G,*)$ je grupa a $x\in G$. Ak platí $x*x=x$, tak $x=e$; t.j. $x$ je neutrálny prvok.
Riešenie:
Ak máme rovnosť $x*x=x$, tak po vynásobení oboch strán $x^{-1}$ dostaneme $x=e$.
Inak: Ak platí $x*x=x$, t.j. $x*x=x*e$, tak zo zákona o krátení dostaneme $x=e$.
******
Skupina 2 (a 3):
Zadanie:
Zistite, či uvedené tvrdenie platí -- ak áno, dokážte ho; ak nie, nájdite kontrapríklad.
Nech $(G,*)$ je grupa a $x\in G$. Ak platí $x=x^{-1}$, tak $x=e$; t.j. $x$ je neutrálny prvok.
Oplatí sa uvedomiť si, že $x=x^{-1}$ je to isté ako $x*x=e$. Takže zadanie v tretej skupine je vlastne to isté, iba inak sformulované.
Kontrapríklady:
- $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$ a $x=-1$
- $(\mathbb Z_2,\oplus)$ a $x=1$ alebo všeobecnejšie $(\mathbb Z_{2k},\oplus)$ a $x=k$
- Nejaká grupa permutácií, pričom zoberieme permutáciu, ktorá obsahuje iba cykly dĺžky $2$ (a prípadne $1$). Napríklad $\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{smallmatrix}\right)$ v $(S_3,\circ)$
Skupina 4:
Zadanie:
Zistite, či uvedené tvrdenie platí -- ak áno, dokážte ho; ak nie, nájdite kontrapríklad.
Nech $(G,*)$ je grupa a $x,y\in G$. Ak platí $x*x=y*y$, tak $x=y$.
Kontrapríklady:
Funguje akýkoľvek kontrapríklad zo skupiny 2, ak za $y$ vezmeme neutrálny prvok.
(A dá sa nájsť aj veľa iných kontrapríkladov.)