Počítanie hodnosti matice s parametrom
Posted: Mon Dec 17, 2012 6:02 pm
Úlohu takéhoto typu môžete nájsť aj medzi riešenými úlohami na stránke. Môžeme si však ukázať ešte jeden ďalší príklad.
Pokúsime sa nájsť hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$. (To znamená, že ako odpoveď by sme mali vedieť povedať aká bude hodnosť tejto matice pre ľubovoľnú hodnotu reálneho čísla $c$. Alebo tiež ak zbadáme nejakú úpravu, ktorá odstráni viacero výskytov parametra, tak ju použiť.)
Skúsme to napríklad riadkovými úpravami.
Ako prvý krok môžeme od prvého a druhého riadku odrátať tretí a potom riadky vymeniť. (Všeobecne je rozumnou stratégiou - ak sa dá - aspoň v prvých krokoch sa vyhýbať používaniu riadkov, ktoré obsahujú parameter.)
$
\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c-1\\
1 & 1-c & 1\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
0 & c+1 & c-2\\
0 & 1-c & 0\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1-c & 0 \\
0 & c+1 & c-2
\end{pmatrix}
$
Všimnime si, že druhý riadok vyzerá celkom pekne - teraz by sme ho mohli vydeliť číslom $(1-c)$ a bol by to riadok obsahujúci jedinú jednotku a ostatné nuly. Treba však dať pozor na to, aby sme nedelili nulou. Teda túto úpravu môžeme urobiť len pre $c\ne 1$.
Niektorí z vás pri počítaní podobného príkladu na skúške zastali na tomto mieste (t.j. na mieste, kde prvýkrát bolo treba deliť výrazom s parametrom) a prehlásili, že pre $c=1$ he hodnosť rovná dvom a inak je hodnosť rovná trom. To nie je správne. Ako sa môžete presvedčiť dosadením, napríklad aj $c=2$ je hodnota pre ktorú sa hodnosť nerovná 3. (Čo nám, keď budeme rátať ďalej, aj vyjde.)
Pre $c=1$ dostaneme už maticu s číslami - jej hodnosť vieme dorátať, vyjde nám, že hodnosť je 2.
Pre $c\ne1$ môžeme týmto výrazom deliť a pokračovať:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1-c & 0 \\
0 & c+1 & c-2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & c+1 & c-2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & c-2
\end{pmatrix}$
Opäť sme v podobnej situácii ako pred chvíľou. Ak $c\ne 2$, tak posledný riadok môžeme deliť. Ak $c=2$, tak dostaneme maticu, ktorej hodnosť je 2.
Pre $c\ne 2$ pokračujeme v úpravách:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & c-2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že hodnosť tejto matice je 2 ak $c\in\{1,2\}$ a pre všetky ostatné hodnoty $c\in\mathbb R$ je hodnosť matice 3.
Môžeme to isté skúsiť pomocou stĺpcových úprav- teraz už nebudem vypisovať všetky detaily:
$\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c-1\\
1 & 1-c & 1\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c-2\\
1 & 1-c & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & c+1 & 1\\
1 & 1-c & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 1-c & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$
Pri úpravách sme delili výrazmi $(c-2)$ a $(c-1)$, takže pre $c=1,2$ musíme hodnosť určiť zvlášť.
************************
Teraz, keď ste sa už naučili niečo o determinantoch, tak viete, že hodnosť matice $3\times 3$ je rovná 3 práve vtedy, keď $|A|\ne 0$. (Je to jedna z ekvivalentných podmienok hovoriacich, kedy je matica regulárna.)
Takže ďalšia možnosť by bola zrátať determinant danej matice (a dať pozor aby sme sa nepomýlili.)
$\begin{vmatrix}
1 & c+1 & c-1\\
1 & 1-c & 1\\
1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=c^2-3c+2=(c-2)(c-1).$
Vidíme, že pre $c\ne 1,2$ je determinant nenulový a hodnosť je 3. Zostáva teda už len zistiť hodnosť pre tieto dve konkrétne hodnoty parametra $c$.
Pokúsime sa nájsť hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$. (To znamená, že ako odpoveď by sme mali vedieť povedať aká bude hodnosť tejto matice pre ľubovoľnú hodnotu reálneho čísla $c$. Alebo tiež ak zbadáme nejakú úpravu, ktorá odstráni viacero výskytov parametra, tak ju použiť.)
Skúsme to napríklad riadkovými úpravami.
Ako prvý krok môžeme od prvého a druhého riadku odrátať tretí a potom riadky vymeniť. (Všeobecne je rozumnou stratégiou - ak sa dá - aspoň v prvých krokoch sa vyhýbať používaniu riadkov, ktoré obsahujú parameter.)
$
\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c-1\\
1 & 1-c & 1\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
0 & c+1 & c-2\\
0 & 1-c & 0\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1-c & 0 \\
0 & c+1 & c-2
\end{pmatrix}
$
Všimnime si, že druhý riadok vyzerá celkom pekne - teraz by sme ho mohli vydeliť číslom $(1-c)$ a bol by to riadok obsahujúci jedinú jednotku a ostatné nuly. Treba však dať pozor na to, aby sme nedelili nulou. Teda túto úpravu môžeme urobiť len pre $c\ne 1$.
Niektorí z vás pri počítaní podobného príkladu na skúške zastali na tomto mieste (t.j. na mieste, kde prvýkrát bolo treba deliť výrazom s parametrom) a prehlásili, že pre $c=1$ he hodnosť rovná dvom a inak je hodnosť rovná trom. To nie je správne. Ako sa môžete presvedčiť dosadením, napríklad aj $c=2$ je hodnota pre ktorú sa hodnosť nerovná 3. (Čo nám, keď budeme rátať ďalej, aj vyjde.)
Pre $c=1$ dostaneme už maticu s číslami - jej hodnosť vieme dorátať, vyjde nám, že hodnosť je 2.
Spoiler:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1-c & 0 \\
0 & c+1 & c-2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & c+1 & c-2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & c-2
\end{pmatrix}$
Opäť sme v podobnej situácii ako pred chvíľou. Ak $c\ne 2$, tak posledný riadok môžeme deliť. Ak $c=2$, tak dostaneme maticu, ktorej hodnosť je 2.
Spoiler:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & c-2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že hodnosť tejto matice je 2 ak $c\in\{1,2\}$ a pre všetky ostatné hodnoty $c\in\mathbb R$ je hodnosť matice 3.
Môžeme to isté skúsiť pomocou stĺpcových úprav- teraz už nebudem vypisovať všetky detaily:
$\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c-1\\
1 & 1-c & 1\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c-2\\
1 & 1-c & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & c+1 & 1\\
1 & 1-c & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 1-c & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$
Pri úpravách sme delili výrazmi $(c-2)$ a $(c-1)$, takže pre $c=1,2$ musíme hodnosť určiť zvlášť.
************************
Teraz, keď ste sa už naučili niečo o determinantoch, tak viete, že hodnosť matice $3\times 3$ je rovná 3 práve vtedy, keď $|A|\ne 0$. (Je to jedna z ekvivalentných podmienok hovoriacich, kedy je matica regulárna.)
Takže ďalšia možnosť by bola zrátať determinant danej matice (a dať pozor aby sme sa nepomýlili.)
$\begin{vmatrix}
1 & c+1 & c-1\\
1 & 1-c & 1\\
1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=c^2-3c+2=(c-2)(c-1).$
Vidíme, že pre $c\ne 1,2$ je determinant nenulový a hodnosť je 3. Zostáva teda už len zistiť hodnosť pre tieto dve konkrétne hodnoty parametra $c$.