Zámer tohoto vlákna je mať tu pokope pozbierané odkazy, kde sú preberané veci v jednotlivých prednáškach. (A sem tam možno pribudne aj odkaz na nejaké užitočné veci súvisiace s preberanou témou.)
Nezaručujem, že to tu budem stíhať pridávať - možno niekedy za prednáškou budem meškať. (Aj keď pred cvikom sa snažím vždy mať aspoň trochu prehľad o tom, čo už bolo na prednáške - takže to píšem do istej miery aj pre seba.)
Opäť sem pridám aj link na playlist obsahujúci prednášky: https://www.youtube.com/playlist?list=P ... WNoZ3McfQZ
Ak náhodou niečo takéto robíte aj sami, tak mi dajte vedieť, aby som neduplikoval niečo čo je urobené - prípadne sem môžete dať linku.
Je mi jasné, že na tento účel by bola vhodnejšia wiki ako fórum (mohli by to editovať viacerí ľudia) - ale na druhej strane takto to má výhodu, že sú veci súvisiace s týmto predmetom pokope.
Na svoju stránku nejakú wiki inštalovať v najbližšom čase nebudem. Existuje stránka http://wiki.matfyz.sk/ - neviem do akej miery je udržiavaná, veľmi aktívna asi nie je. (Keď skontrolujem posledné úpravy, tak za 30 dní tam vidím jednu.)
Stručný sumár jednotlivých prednášok
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Placeholder - ak by sa náhodou našiel niekto, čo spätne doplní prednášky 1 až 4.$\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Lineárna algebra a geometria | Grupy , Abelovská grupa , grupy symetrií | prednáška 05
https://www.youtube.com/watch?v=5z1e6qBvVYo
0:08 Odteraz už nahrávame bez študentov.
0:50 Zopakujme z minula pojem grupy.
3:37 Pripomenieme príklady z minulého týždňa.
13:11 Grupa $(\mathbb Z_m,+)$; príklad 2a
14:20 Prvky sú zvyšky po delení m. Veta o delení so zvyškom: viewtopic.php?t=1335
16:27 Ako definujeme operáciu $+_m$ sčitovania modulo $m$; máme $a+_mb=q$ pre $a+b=p\cdot m+q$, $0\le q\le m-1$.
22:45 Niektorí ste sa s týmto už mohli stretnúť.
23:00 Prečo to je pomerne prirodzená operácia.
27:37 $(\mathbb Z_m,+)$ je komutatívna grupa.
32:06 Vidíme, že pre ľubovoľné prirodzené číslo $m$ existuje aspoň jedna $m$-prvková grupa.
33:48 Príklad 2 bola vlastne inak zapísaná grupa $(\mathbb Z_3,+)$; $a\mapsto 0$, $b\mapsto 1$, $c\mapsto 3$. (Neskôr bude pojem izomorfizmu grúp, ale už na tomto mieste asi vidno, že je to "v podstate tá istá" grupa.)
38:00 Konkrétne pre $m=2$, $m=5$ ($m=4$ a $m=6$ zostalo ako d.ú).
45:40 Označenie $(\mathbb Z_m,+)$ (namiesto $+_m$), $k\times x= \underset{\text{$k$-krát}}{\underbrace{x+x+\dots+x}}$
49:29 Príklad 3a: permutácie množiny $M_n=\{1,2,\dots,n\}$, dostaneme grupu $(S_n,\circ)$. Wikipédia: Symmetric group
53:59 Dvojriadkový zápis pre permutácie
56:30 Koľko má táto grupa prvkov?
58:55 Skladanie a dvojriadkový zápis.
1:01:50 Ako to vychádza pre $n=3$, t.j. grupa $S_3$, ktorá obsahuje prvky $id=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{smallmatrix}\right)$, $\alpha_1=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{smallmatrix}\right)$, $\alpha_2=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_1=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_2=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_3=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{smallmatrix}\right)$.
1:04:30 V tejto grupe platí $\beta_1\circ\beta_3\ne\beta_3\circ\beta_1$, t.j. je to nekomutatívna grupa.
1:14:14 D.ú.: tabuľka
1:14:34 $Z_6$ a $S_3$ sú dve grupy, ktoré majú 6 prvkov, ale sú rôzne.
1:16:00 Definícia 1.21: Komutatívna (abelovská) grupa, príklady komutatívnych grúp.
1:17:12 Grupa $(S_n,\circ)$ nie je komutatívna pre $n\ge2$
1:17:28 Niels Henrik Abel, Abel Prize
1:19:21 Príklad 3b: Grupy symetrií
1:28:50 Grupa $D_n$; grupa symetrií pravidelného $n$-uholníka. Wikipédia: Dihedrálna grupa
1:31:35 Poznámky o význame teórie grúp
1:31:55 Grupy sa vyskytujú všade.
1:32:12 Galoisova teória - vznikla z otázok o riešiteľnosti polynómov pomocou odmocnín.
1:34:34 Nejaké základné veci z tejto oblasti môžete počuť na predmetoch Algebra 1,2 (1-MAT-220, 1-MAT-260), detailne sa to preberá na predmetoch Teória polí 1,2 (2-MAT-215, 2-MAT-216).
Wikipédia: Abel–Ruffini theorem
1:35:25 Grupy vo fyzike - napríklad grupy súvisiace s elementárnymi časticami.
1:37:16 Pre nás (na tejto prednáške) je hlavný význam grúp, že vo vektorovom priestore máme komutatívnu grupu $(V,+)$.
Lineárna algebra a geometria | Podgrupy | prednáška 06
Zopakovanie definície grupy $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
1:40 Označenie $1_G$ a $(x^{-1})_G$; ak potrebujeme pracovať s viacerými grupami
2:12 Príklady grúp
3:07 Grupy symetrií nám môžu dať nejakú informáciu o danom systéme.
5:51 Dnes sa budeme (po nejakých príkladoch a malej vete) zaoberať podgrupami.
6:45 Príklad 5: Priamy súčin grúp: z grúp $(G,*_G)$ a $(H,*_H)$ dostaneme $(G\times H,*_{G\times H})$, kde $(x,y)*_{G\times H}(x',y')=(x*_Gx',y*_Hy')$.
11:40 Overenie, že dostaneme grupu
13:48 Príklad $(\mathbb R^2,+)$
18:07 Podobne dostaneme $(\mathbb R^n,+)$.
19:00 Grupy $\mathbb Z_{mn}$ a $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$
20:19 Veta 1.22: $\inv{1}=1$, $\inv{(\inv x)}=x$, $\inv{(x*y)}=\inv y * \inv x$
35:43 Poradie je dôležité v nekomutatívnych grupách.
36:02 Príklad na prvkoch z $S_3$
37:32 D.ú.: $x*x=x$ $\Rightarrow$ $x=1$
38:38 Podgrupy
39:45 Ak máme grupu $(G,*)$, tak nás budú zaujímať také podmnožiny množiny $G$, ktoré opäť s touto operáciu tvoria grupu.
42:20 Definícia 1.23: Podgrupa
46:00 Poznámka: Vzťah $*'$ a $*$ pri definícii $x*'y=x*y$.
51:15 V praxi často označujeme $*'$ a $*$ rovnako.
52:37 Príklad 0: $\{1\}$ a $G$ sú podgrupy $G$
54:00 $2\mathbb Z$ v $(\mathbb Z,+)$ (párne čísla)
56:08 $2\mathbb Z+1$ (nepárne čísla) netvoria podgrupu.
57:46 Nezáporné celé čísla netvoria podgrupu.
59:16 Príklady podgrúp $(\mathbb R^2,+)$
1:04:13 Chceme si rozmyslieť jednoduchší spôsob, ako overiť, či ide o podgrupu.
1:05:15 Veta 1.25: Kritérium podgrupy
1:07:40 Aké implikácie máme v tejto vete a budeme ukazovať v dôkaze.
1:10:10 Dôkaz vety 1.25.
1:27:15 Bol to pomerne formálny dôkaz - oplatí sa nad ním zamyslieť.
1:28:07 Ideme použiť túto vetu na overenie, či ide o podgrupu.
1:28:25 $m\mathbb Z=\{mz; z\in\mathbb Z\}$ v $(\mathbb Z,+)$
1:30:40 $\mathbb Q^+$ v $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$
1:31:46 $\{0,1\}$ nie je podgrupa $(\mathbb Z,+)$
1:32:13 Neskôr budeme vidieť, že v $(\mathbb Z,+)$ neexistuje žiadna konečná podgrupa.
1:32:20 $\{-1,1\}$ je podgrupa v $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$
1:33:05 Pozrieme sa aj na nejaké príklad, keď máme konečnú grupu.
1:33:10 $2\mathbb Z_4=\{0,2\}$ v $\mathbb Z_4$
1:33:43 $\{0,1\}$ nie je podgrupa $\mathbb Z_4$
1:33:58 $(S_M)_x=\{f\in S_M; f(x)=x\}$ (zobrazenia, ktoré nemenia $x$)
1:35:20 $\Delta=\{(x,x); x\in\mathbb R\}$ v $(\mathbb R^2,+)$
1:36:56 Všeobecnejšie: $\Delta_{(k,l)}=\{(kx,lx); x\in\mathbb R\}$ v $(\mathbb R^2,+)$ (pre $(k,l)\ne(0,0)$)
1:38:39 Ak $m<n$ tak $\mathbb Z_m$ je podmnožina $\mathbb Z_n$; ale nie je to podgrupa.
1:39:15 Kružnica nie je podgrupa $(\mathbb R^2,+)$
Prednáška 7 - homomorfizmy grúp.
Opakovanie - podgrupy, kritérium
7:15 Homomorfizmy grúp
10:26 Definícia 1.16: Homomorfizmus grúp
13:15 Príklad: $f\colon(\mathbb R,+)\to(\mathbb R,+)$, $f(x)=2x$ je homomorfizmus, $f(x)=2+x$ nie je homomorfizmus
17:10 Veta 1.27: Obraz neutrálneho a obraz inverzného prvku
20:10 Dôkaz vety 1.27.
29:20 Príklady homomorfizmov.
0) $f(x)=1_H$
1) $x\mapsto mx$ je homomorfizmus $(\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+)$, rovnaký predpis funguje pre $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$
Zobrazenie $x\mapsto m+x$ nie je homomorfizmus, ak $m\ne0$
2) $f\colon(\mathbb Z_2,+)\to(\mathbb Z_4,+)$, $f(x)=2x$
39:30 $f_m\colon (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z_m,+)$, $x\mapsto q_x$ (zvyšok po delení číslom $m$)
47:25 5) $(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R^2,+)$, $(x,y)\mapsto(ax+cy,bx+dy)$
$(\mathbb R,+)\to(\mathbb R^2,+)$, $(x,y)\mapsto(kx,lx)$
$(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R,+)$, $(x,y)\mapsto(ux+vy)$
58:35 Plán: Ideme sa pozrieť na ďalšie vlastnosti homomorfizmov.
59:05 Chceme sa pozrieť na to, ako sa homomorfizmy správajú vzhľadom k podgrupám.
1:03:05 Veta 1.28: Obraz podgrupy je podgrupa.
1:15:30 Veta 1.29: Vzor podgrupy je podgrupa.
Prednáška 8: podgrupy, homomorfizmy$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
Zopakovanie viet z konca predošlej prednášky
2:30 Špeciálne prípady: $f(\{1_G\})=\{1_H\}$, $f(G)=\operatorname{Im}f$, $f^{-1}(H)=G$, $f^{-1}(\{1_H\})=\operatorname{Ker} f$
6:20 Príklad: $f_m\colon (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+)$, $x\mapsto m\cdot x$ zobrazí $k\mathbb Z$ na $(mk)\mathbb Z$. Obrátene, vzor podgrupy $(lm)\mathbb Z$ je $l\mathbb Z$. Domáca úloha: Vzor pre $n\mathbb Z$.
9:45 Príklad: Pre $\Zobr{q_m}{(\Z,+)}{(\Z_m,+)}$, $x\mapsto q_x$ máme $\operatorname{Ker}(q_m)=m\Z$
13:50 Príklad 5: $\Zobr{g_{(k,l)}}{\R}{\R^2}$, $x\mapsto (kx,lx)$ pre $(k,l)\ne(0,0)$. Obraz je priamka, jadro je triviálne.
16:45 Príklad 5: $\Zobr{h_{(u,v)}}{\R^2}{\R}$ $(x,y)\mapsto(ux+vy)$ pre $(u,v)\ne(0,0)$. Špeciálne pre $(u,v)=(1,1)$ máme $h(x,y)=x-y$. Obraz je $\R$, jadro je diagonála $\Delta=\{(x,x); x\in\R\}$.
21:00 Definícia 1.30: Jadro homomorfizmu $\operatorname{Ker} f$.
24:00 Prečo nás zaujíma jadro, súvis s injektívnosťou.
33:50 Veta 1.31: Homomorfizmus grúp je injektívny p.v.k. $\operatorname{Ker} f=\{1_G\}$.
46:00 Definícia 1.32, monomorfizmus, epimorfizmus, izomorfizmus.
49:00 Izomorfné grupy: $G\cong H$. Čo znamená, že grupy sú izomorfné.
57:05 $(\R,+)\cong(\R^+,\cdot)$
1:02:15 Veta 1.33: Ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
1:08:00 Veta 1.34: Zloženie homomorfizmov je homomorfizmus. Zloženie izomorfizmov je izomorfizmus.
1:10:25 Plán čo chceme robiť ďalej: Faktorové grupy.
Lineárna algebra a geometria | Faktorové grupy | prednáška 09
0:14 Čo sme robili na predošlých prednáškach$\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}$
0:43 Pripomenutie: Ak máme homomorfizmus $f\colon G\to K$, tak máme podgrupu $\Ker f$.
1:59 Chceme si položiť otázku, či sa tento proces dá v istom zmysle otočiť; t.j. ak máme podgrupu $H$ v komutatívnej grupe $G$, tak chceme dostať grupu $G/H$ a homomorfizmus $G\to G/H$ tak, že $H=\Ker f$.
Teraz pracujeme iba s prípadom, keď $G$ je komutatívna. Všeobecný prípad budete vidieť v druhom ročníku na predmete Algebra (1). (Poistní matematici napríklad na predmete Úvod do vysokoškolskej matematiky (2).)
4:30 Relácia ekvivalencie
6:15 Definícia 1.35: relácia
9:22 Príklady (rodinné vzťahy)
13:16 Definícia 1.36: relácia ekvivalencie
19:10 Príklad - športovci a tímy
25:10 $M/\sim$ = množina tímov
25:35 Idea: Všeobecne chceme vidieť, že relácia ekvivalencie $\sim$ dáva rozklad $M$ disjunktné podmnožiny-
26:16 Definícia 1.37: trieda ekvivalencie $[y]=\{x\in M; x\sim y\}$, prvok $y$ sa nazýva reprezentant triedy ekvivalencie $[y]$.
29:40 Príklad - ako vyzerajú v našom príklady triedy a ich reprezentanti
31:45 Veta 1.38: Platia vlastnosti:
* $[y]\ne\emptyset$
* $[x]=[y]$ $\Leftrightarrow$ $x\sim y$
* $[x]\ne [y]$ $\Rightarrow$ $[x]\cap[y]=\emptyset$
* $M=\bigcup\limits_{x\in M} [x]$
40:29 Táto veta vlastne hovorí, že ak mám reláciu ekvivalencie na $M$, tak triedy rozkladajú množinu $M$ na disjunktné podmnožiny.
40:57 Definícia 1.39: $M/\sim=\{[x]; x\in M\}$ ("množina tímov")
43:10 Chceme teraz dostať nejako do hry grupy (a podgrupy).
44:20 Veta 1.40: Ak definujeme $\sim$ ako $x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H$, tak dostaneme reláciu ekvivalencie na $G$. Množinu tried ekvivalencie oznaíčme $G/H$.
Wikipédia: Coset
46:20 Dôkaz tejto vety prejde aj bez predpokladu, že $G$ je komutatívna. (Budeme tento predpoklad však potrebovať v ďalších veciach, ktoré budeme robiť.)
46:52 Označenie $x-y:=x+(-y)$
47:36 Dôkaz vety 1.40
53:30 Chceme vetu 1.40 ilustrovať na konkrétnych príkladoch.
53:45 Príklad 2: $m\mathbb Z$ je podgrupa $\mathbb Z$; triedy ekvivalencie sú $[y]=\{x\in\mathbb Z; x-y=k\cdot m\text{ pre nejaké }k\in\mathbb Z\}$, množina $\mathbb Z/m\mathbb Z$ má $m$ prvkov (resp. v našom príklade s $m=4$ má štyri prvky).
59:45 Príklad 5: $\Delta=\{(x,x); x\in\mathbb R\}\subset \mathbb R^2$; triedy ekvivalencie sú rovnobežné priamky
1:06:31 Zatiaľ máme množinu $G/H$; chceme na nej aj binárnu operáciu a dostať grupu.
1:07:35 Veta 1.41: Predpis $[x]\boxplus[y]=[x+y]$ definuje binárnu operáciu na $G/H$ a $(G/H,\boxplus)$ je komutatívna grupa.
1:11:20 Čo znamená zápis: $[x]\boxplus[y]=[x+y]$ (a ukážka na konkrétnom príklade).
1:13:38 Čo všetko treba v dôkaze vety 1.14.
1:13:35 Dôkaz, že binárna operácia $\boxplus$ nezávisí od výberu reprezentantov (je dobre definovaná).
1:17:30 Idem ešte ukázať, že to je komutatívna grupa. Asociatívnosť - d.ú.
1:17:55 Neutrálny prvok je $[0]$.
1:18:51 Inverzný prvok $-[x]=[-x]$.
1:19:50 Vetu 1.41 sme už ilustrovali na príklad $\mathbb Z/m\mathbb Z$.
1:20:29 Na príklade $\mathbb R/\Delta$
1:23:13 Čo plánujeme robiť nabudúce.
Lineárna algebra a geometria | Grupy , Abelovská grupa , grupy symetrií | prednáška 05
https://www.youtube.com/watch?v=5z1e6qBvVYo
0:08 Odteraz už nahrávame bez študentov.
0:50 Zopakujme z minula pojem grupy.
3:37 Pripomenieme príklady z minulého týždňa.
13:11 Grupa $(\mathbb Z_m,+)$; príklad 2a
14:20 Prvky sú zvyšky po delení m. Veta o delení so zvyškom: viewtopic.php?t=1335
16:27 Ako definujeme operáciu $+_m$ sčitovania modulo $m$; máme $a+_mb=q$ pre $a+b=p\cdot m+q$, $0\le q\le m-1$.
22:45 Niektorí ste sa s týmto už mohli stretnúť.
23:00 Prečo to je pomerne prirodzená operácia.
27:37 $(\mathbb Z_m,+)$ je komutatívna grupa.
32:06 Vidíme, že pre ľubovoľné prirodzené číslo $m$ existuje aspoň jedna $m$-prvková grupa.
33:48 Príklad 2 bola vlastne inak zapísaná grupa $(\mathbb Z_3,+)$; $a\mapsto 0$, $b\mapsto 1$, $c\mapsto 3$. (Neskôr bude pojem izomorfizmu grúp, ale už na tomto mieste asi vidno, že je to "v podstate tá istá" grupa.)
38:00 Konkrétne pre $m=2$, $m=5$ ($m=4$ a $m=6$ zostalo ako d.ú).
45:40 Označenie $(\mathbb Z_m,+)$ (namiesto $+_m$), $k\times x= \underset{\text{$k$-krát}}{\underbrace{x+x+\dots+x}}$
49:29 Príklad 3a: permutácie množiny $M_n=\{1,2,\dots,n\}$, dostaneme grupu $(S_n,\circ)$. Wikipédia: Symmetric group
53:59 Dvojriadkový zápis pre permutácie
56:30 Koľko má táto grupa prvkov?
Spoiler:
1:01:50 Ako to vychádza pre $n=3$, t.j. grupa $S_3$, ktorá obsahuje prvky $id=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{smallmatrix}\right)$, $\alpha_1=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{smallmatrix}\right)$, $\alpha_2=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_1=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_2=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{smallmatrix}\right)$, $\beta_3=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{smallmatrix}\right)$.
1:04:30 V tejto grupe platí $\beta_1\circ\beta_3\ne\beta_3\circ\beta_1$, t.j. je to nekomutatívna grupa.
1:14:14 D.ú.: tabuľka
1:14:34 $Z_6$ a $S_3$ sú dve grupy, ktoré majú 6 prvkov, ale sú rôzne.
1:16:00 Definícia 1.21: Komutatívna (abelovská) grupa, príklady komutatívnych grúp.
1:17:12 Grupa $(S_n,\circ)$ nie je komutatívna pre $n\ge2$
1:17:28 Niels Henrik Abel, Abel Prize
1:19:21 Príklad 3b: Grupy symetrií
1:28:50 Grupa $D_n$; grupa symetrií pravidelného $n$-uholníka. Wikipédia: Dihedrálna grupa
1:31:35 Poznámky o význame teórie grúp
1:31:55 Grupy sa vyskytujú všade.
1:32:12 Galoisova teória - vznikla z otázok o riešiteľnosti polynómov pomocou odmocnín.
1:34:34 Nejaké základné veci z tejto oblasti môžete počuť na predmetoch Algebra 1,2 (1-MAT-220, 1-MAT-260), detailne sa to preberá na predmetoch Teória polí 1,2 (2-MAT-215, 2-MAT-216).
Wikipédia: Abel–Ruffini theorem
1:35:25 Grupy vo fyzike - napríklad grupy súvisiace s elementárnymi časticami.
1:37:16 Pre nás (na tejto prednáške) je hlavný význam grúp, že vo vektorovom priestore máme komutatívnu grupu $(V,+)$.
Lineárna algebra a geometria | Podgrupy | prednáška 06
Zopakovanie definície grupy $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
1:40 Označenie $1_G$ a $(x^{-1})_G$; ak potrebujeme pracovať s viacerými grupami
2:12 Príklady grúp
3:07 Grupy symetrií nám môžu dať nejakú informáciu o danom systéme.
5:51 Dnes sa budeme (po nejakých príkladoch a malej vete) zaoberať podgrupami.
6:45 Príklad 5: Priamy súčin grúp: z grúp $(G,*_G)$ a $(H,*_H)$ dostaneme $(G\times H,*_{G\times H})$, kde $(x,y)*_{G\times H}(x',y')=(x*_Gx',y*_Hy')$.
11:40 Overenie, že dostaneme grupu
13:48 Príklad $(\mathbb R^2,+)$
18:07 Podobne dostaneme $(\mathbb R^n,+)$.
19:00 Grupy $\mathbb Z_{mn}$ a $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$
20:19 Veta 1.22: $\inv{1}=1$, $\inv{(\inv x)}=x$, $\inv{(x*y)}=\inv y * \inv x$
35:43 Poradie je dôležité v nekomutatívnych grupách.
36:02 Príklad na prvkoch z $S_3$
37:32 D.ú.: $x*x=x$ $\Rightarrow$ $x=1$
38:38 Podgrupy
39:45 Ak máme grupu $(G,*)$, tak nás budú zaujímať také podmnožiny množiny $G$, ktoré opäť s touto operáciu tvoria grupu.
42:20 Definícia 1.23: Podgrupa
46:00 Poznámka: Vzťah $*'$ a $*$ pri definícii $x*'y=x*y$.
51:15 V praxi často označujeme $*'$ a $*$ rovnako.
52:37 Príklad 0: $\{1\}$ a $G$ sú podgrupy $G$
54:00 $2\mathbb Z$ v $(\mathbb Z,+)$ (párne čísla)
56:08 $2\mathbb Z+1$ (nepárne čísla) netvoria podgrupu.
57:46 Nezáporné celé čísla netvoria podgrupu.
59:16 Príklady podgrúp $(\mathbb R^2,+)$
1:04:13 Chceme si rozmyslieť jednoduchší spôsob, ako overiť, či ide o podgrupu.
1:05:15 Veta 1.25: Kritérium podgrupy
1:07:40 Aké implikácie máme v tejto vete a budeme ukazovať v dôkaze.
1:10:10 Dôkaz vety 1.25.
1:27:15 Bol to pomerne formálny dôkaz - oplatí sa nad ním zamyslieť.
1:28:07 Ideme použiť túto vetu na overenie, či ide o podgrupu.
1:28:25 $m\mathbb Z=\{mz; z\in\mathbb Z\}$ v $(\mathbb Z,+)$
1:30:40 $\mathbb Q^+$ v $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$
1:31:46 $\{0,1\}$ nie je podgrupa $(\mathbb Z,+)$
1:32:13 Neskôr budeme vidieť, že v $(\mathbb Z,+)$ neexistuje žiadna konečná podgrupa.
1:32:20 $\{-1,1\}$ je podgrupa v $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$
1:33:05 Pozrieme sa aj na nejaké príklad, keď máme konečnú grupu.
1:33:10 $2\mathbb Z_4=\{0,2\}$ v $\mathbb Z_4$
1:33:43 $\{0,1\}$ nie je podgrupa $\mathbb Z_4$
1:33:58 $(S_M)_x=\{f\in S_M; f(x)=x\}$ (zobrazenia, ktoré nemenia $x$)
1:35:20 $\Delta=\{(x,x); x\in\mathbb R\}$ v $(\mathbb R^2,+)$
1:36:56 Všeobecnejšie: $\Delta_{(k,l)}=\{(kx,lx); x\in\mathbb R\}$ v $(\mathbb R^2,+)$ (pre $(k,l)\ne(0,0)$)
1:38:39 Ak $m<n$ tak $\mathbb Z_m$ je podmnožina $\mathbb Z_n$; ale nie je to podgrupa.
1:39:15 Kružnica nie je podgrupa $(\mathbb R^2,+)$
Prednáška 7 - homomorfizmy grúp.
Opakovanie - podgrupy, kritérium
7:15 Homomorfizmy grúp
10:26 Definícia 1.16: Homomorfizmus grúp
13:15 Príklad: $f\colon(\mathbb R,+)\to(\mathbb R,+)$, $f(x)=2x$ je homomorfizmus, $f(x)=2+x$ nie je homomorfizmus
17:10 Veta 1.27: Obraz neutrálneho a obraz inverzného prvku
20:10 Dôkaz vety 1.27.
29:20 Príklady homomorfizmov.
0) $f(x)=1_H$
1) $x\mapsto mx$ je homomorfizmus $(\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+)$, rovnaký predpis funguje pre $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$
Zobrazenie $x\mapsto m+x$ nie je homomorfizmus, ak $m\ne0$
2) $f\colon(\mathbb Z_2,+)\to(\mathbb Z_4,+)$, $f(x)=2x$
39:30 $f_m\colon (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z_m,+)$, $x\mapsto q_x$ (zvyšok po delení číslom $m$)
47:25 5) $(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R^2,+)$, $(x,y)\mapsto(ax+cy,bx+dy)$
$(\mathbb R,+)\to(\mathbb R^2,+)$, $(x,y)\mapsto(kx,lx)$
$(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R,+)$, $(x,y)\mapsto(ux+vy)$
58:35 Plán: Ideme sa pozrieť na ďalšie vlastnosti homomorfizmov.
59:05 Chceme sa pozrieť na to, ako sa homomorfizmy správajú vzhľadom k podgrupám.
1:03:05 Veta 1.28: Obraz podgrupy je podgrupa.
1:15:30 Veta 1.29: Vzor podgrupy je podgrupa.
Prednáška 8: podgrupy, homomorfizmy$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
Zopakovanie viet z konca predošlej prednášky
2:30 Špeciálne prípady: $f(\{1_G\})=\{1_H\}$, $f(G)=\operatorname{Im}f$, $f^{-1}(H)=G$, $f^{-1}(\{1_H\})=\operatorname{Ker} f$
6:20 Príklad: $f_m\colon (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+)$, $x\mapsto m\cdot x$ zobrazí $k\mathbb Z$ na $(mk)\mathbb Z$. Obrátene, vzor podgrupy $(lm)\mathbb Z$ je $l\mathbb Z$. Domáca úloha: Vzor pre $n\mathbb Z$.
9:45 Príklad: Pre $\Zobr{q_m}{(\Z,+)}{(\Z_m,+)}$, $x\mapsto q_x$ máme $\operatorname{Ker}(q_m)=m\Z$
13:50 Príklad 5: $\Zobr{g_{(k,l)}}{\R}{\R^2}$, $x\mapsto (kx,lx)$ pre $(k,l)\ne(0,0)$. Obraz je priamka, jadro je triviálne.
16:45 Príklad 5: $\Zobr{h_{(u,v)}}{\R^2}{\R}$ $(x,y)\mapsto(ux+vy)$ pre $(u,v)\ne(0,0)$. Špeciálne pre $(u,v)=(1,1)$ máme $h(x,y)=x-y$. Obraz je $\R$, jadro je diagonála $\Delta=\{(x,x); x\in\R\}$.
21:00 Definícia 1.30: Jadro homomorfizmu $\operatorname{Ker} f$.
24:00 Prečo nás zaujíma jadro, súvis s injektívnosťou.
33:50 Veta 1.31: Homomorfizmus grúp je injektívny p.v.k. $\operatorname{Ker} f=\{1_G\}$.
46:00 Definícia 1.32, monomorfizmus, epimorfizmus, izomorfizmus.
49:00 Izomorfné grupy: $G\cong H$. Čo znamená, že grupy sú izomorfné.
57:05 $(\R,+)\cong(\R^+,\cdot)$
1:02:15 Veta 1.33: Ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
1:08:00 Veta 1.34: Zloženie homomorfizmov je homomorfizmus. Zloženie izomorfizmov je izomorfizmus.
1:10:25 Plán čo chceme robiť ďalej: Faktorové grupy.
Lineárna algebra a geometria | Faktorové grupy | prednáška 09
0:14 Čo sme robili na predošlých prednáškach$\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}$
0:43 Pripomenutie: Ak máme homomorfizmus $f\colon G\to K$, tak máme podgrupu $\Ker f$.
1:59 Chceme si položiť otázku, či sa tento proces dá v istom zmysle otočiť; t.j. ak máme podgrupu $H$ v komutatívnej grupe $G$, tak chceme dostať grupu $G/H$ a homomorfizmus $G\to G/H$ tak, že $H=\Ker f$.
Teraz pracujeme iba s prípadom, keď $G$ je komutatívna. Všeobecný prípad budete vidieť v druhom ročníku na predmete Algebra (1). (Poistní matematici napríklad na predmete Úvod do vysokoškolskej matematiky (2).)
4:30 Relácia ekvivalencie
6:15 Definícia 1.35: relácia
9:22 Príklady (rodinné vzťahy)
13:16 Definícia 1.36: relácia ekvivalencie
19:10 Príklad - športovci a tímy
25:10 $M/\sim$ = množina tímov
25:35 Idea: Všeobecne chceme vidieť, že relácia ekvivalencie $\sim$ dáva rozklad $M$ disjunktné podmnožiny-
26:16 Definícia 1.37: trieda ekvivalencie $[y]=\{x\in M; x\sim y\}$, prvok $y$ sa nazýva reprezentant triedy ekvivalencie $[y]$.
29:40 Príklad - ako vyzerajú v našom príklady triedy a ich reprezentanti
31:45 Veta 1.38: Platia vlastnosti:
* $[y]\ne\emptyset$
* $[x]=[y]$ $\Leftrightarrow$ $x\sim y$
* $[x]\ne [y]$ $\Rightarrow$ $[x]\cap[y]=\emptyset$
* $M=\bigcup\limits_{x\in M} [x]$
40:29 Táto veta vlastne hovorí, že ak mám reláciu ekvivalencie na $M$, tak triedy rozkladajú množinu $M$ na disjunktné podmnožiny.
40:57 Definícia 1.39: $M/\sim=\{[x]; x\in M\}$ ("množina tímov")
43:10 Chceme teraz dostať nejako do hry grupy (a podgrupy).
44:20 Veta 1.40: Ak definujeme $\sim$ ako $x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H$, tak dostaneme reláciu ekvivalencie na $G$. Množinu tried ekvivalencie oznaíčme $G/H$.
Wikipédia: Coset
46:20 Dôkaz tejto vety prejde aj bez predpokladu, že $G$ je komutatívna. (Budeme tento predpoklad však potrebovať v ďalších veciach, ktoré budeme robiť.)
46:52 Označenie $x-y:=x+(-y)$
47:36 Dôkaz vety 1.40
53:30 Chceme vetu 1.40 ilustrovať na konkrétnych príkladoch.
53:45 Príklad 2: $m\mathbb Z$ je podgrupa $\mathbb Z$; triedy ekvivalencie sú $[y]=\{x\in\mathbb Z; x-y=k\cdot m\text{ pre nejaké }k\in\mathbb Z\}$, množina $\mathbb Z/m\mathbb Z$ má $m$ prvkov (resp. v našom príklade s $m=4$ má štyri prvky).
59:45 Príklad 5: $\Delta=\{(x,x); x\in\mathbb R\}\subset \mathbb R^2$; triedy ekvivalencie sú rovnobežné priamky
1:06:31 Zatiaľ máme množinu $G/H$; chceme na nej aj binárnu operáciu a dostať grupu.
1:07:35 Veta 1.41: Predpis $[x]\boxplus[y]=[x+y]$ definuje binárnu operáciu na $G/H$ a $(G/H,\boxplus)$ je komutatívna grupa.
1:11:20 Čo znamená zápis: $[x]\boxplus[y]=[x+y]$ (a ukážka na konkrétnom príklade).
1:13:38 Čo všetko treba v dôkaze vety 1.14.
1:13:35 Dôkaz, že binárna operácia $\boxplus$ nezávisí od výberu reprezentantov (je dobre definovaná).
1:17:30 Idem ešte ukázať, že to je komutatívna grupa. Asociatívnosť - d.ú.
1:17:55 Neutrálny prvok je $[0]$.
1:18:51 Inverzný prvok $-[x]=[-x]$.
1:19:50 Vetu 1.41 sme už ilustrovali na príklad $\mathbb Z/m\mathbb Z$.
1:20:29 Na príklade $\mathbb R/\Delta$
1:23:13 Čo plánujeme robiť nabudúce.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Prednáška 10:
Faktorové grupy.
Úvod - čo budeme robiť.
2:00 Definícia 1.43: Faktorová grupa.
9:30 Bijekcie medzi triedami, Lagrangeova veta.
17:40 Veta 1.44: Homomorfizmus $\pi\colon G\to G/H$, $x\mapsto[x]$
28:30 Veta 1.45 - veta o faktorovom izomorfizme
42:25 Príklady na vetu o faktorovom izomorfizme ($\mathbb Z/m\mathbb Z\cong\mathbb Z_m$, $\mathbb R^2/\Delta\cong\mathbb R$)
55:45 Dôkaz vety o faktorovom izomorfizme.
1:14:55 Vzťah medzi faktorovou grupou a riešeniami rovníc tvaru $f(x)=y$, $f(x)=y'$
Faktorové grupy.
Úvod - čo budeme robiť.
2:00 Definícia 1.43: Faktorová grupa.
9:30 Bijekcie medzi triedami, Lagrangeova veta.
17:40 Veta 1.44: Homomorfizmus $\pi\colon G\to G/H$, $x\mapsto[x]$
28:30 Veta 1.45 - veta o faktorovom izomorfizme
42:25 Príklady na vetu o faktorovom izomorfizme ($\mathbb Z/m\mathbb Z\cong\mathbb Z_m$, $\mathbb R^2/\Delta\cong\mathbb R$)
55:45 Dôkaz vety o faktorovom izomorfizme.
1:14:55 Vzťah medzi faktorovou grupou a riešeniami rovníc tvaru $f(x)=y$, $f(x)=y'$
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Prednáška 11
2:40 Definícia 2.1 - okruh, okruh s jednotkou, komutatívny okruh
10:30 Príklady okruhov: $\mathbb Z$, $\mathbb Z_m$, 20:55 okruh polynómov $\mathbb R[t]$
44:35 Definícia 2.2 - homomorfizmus okruhov
49:22 Definícia 2.3 - teleso, pole
56:35 Príklady: $\mathbb Z$ nie je pole, $\mathbb Q$ je pole, $\mathbb Z_m$ - bude pole iba ak $m$ je prvočíslo, $\mathbb R[t]$ nie je pole;
Kvaternióny sú príklad telesa, ktoré nie je poľom.
Wikipédia: Quaternion. Na fóre je stručne popísaná konštrukcia kvaterniónov pomocou matíc: viewtopic.php?t=571 viewtopic.php?p=1477#p1477
1:04:35 Veta 2.4 - niektoré vlastnosti okruhu, telesa
Prednáška 12
2:58 Otázka 2.5: Kedy je $\mathbb Z_m$ pole? (Vtedy, keď $m$ je prvočíslo .)
4:00 Ak $m$ je zložené číslo, tak $\mathbb Z_m$ nie je pole.
7:00 Najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel
13:00 Lema 2.7: Každá podgrupa $\mathbb Z$ je tvaru $m\mathbb Z$
25:05 Lema 2.8: $H_{p,q}=\{pk+ql; k,l\in\mathbb Z\}$ je podgrupa a rovná sa $r\mathbb Z$ kde $r=\operatorname{nsd}(p,q)$
Euklidov algoritmus na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298
Wikipédia: Bézout's identity a Extended Euclidean algorithm
38:40 Dôsledok: Najväčší spoločný deliteľ sa dá vyjadriť ako $r=pu+qv$. (Bézoutova identita)
41:50 Dôsledok 2.10: Pre nesúdeliteľné čísla máme $1=pu+qv$. (Bézoutova identita)
43:41 Veta 2.11: $\mathbb Z_m$ je pole p.v.k. $m$ je prvočíslo.
55:05 Tabuľka sčítania a násobenia v poli $\mathbb Z_5$.
59:27 Rekapitulácia okruhov a polí
Vektorové priestory
1:03:00 Motivácia
1:08:20 Definícia 3.1 - vektorový priestor
Príklady vektorových priestorov
1:21:10 $F^n$ je vektorový priestor nad $F$
1:24:55 $F(M,\mathbb R)=\{f\colon M\to\mathbb R\}$ je vektorový priestor nad $\mathbb R$. (Neskôr budeme vidieť, že to je nekonečnorozmerný priestor.)
2:40 Definícia 2.1 - okruh, okruh s jednotkou, komutatívny okruh
10:30 Príklady okruhov: $\mathbb Z$, $\mathbb Z_m$, 20:55 okruh polynómov $\mathbb R[t]$
44:35 Definícia 2.2 - homomorfizmus okruhov
49:22 Definícia 2.3 - teleso, pole
56:35 Príklady: $\mathbb Z$ nie je pole, $\mathbb Q$ je pole, $\mathbb Z_m$ - bude pole iba ak $m$ je prvočíslo, $\mathbb R[t]$ nie je pole;
Kvaternióny sú príklad telesa, ktoré nie je poľom.
Wikipédia: Quaternion. Na fóre je stručne popísaná konštrukcia kvaterniónov pomocou matíc: viewtopic.php?t=571 viewtopic.php?p=1477#p1477
1:04:35 Veta 2.4 - niektoré vlastnosti okruhu, telesa
Prednáška 12
2:58 Otázka 2.5: Kedy je $\mathbb Z_m$ pole? (Vtedy, keď $m$ je prvočíslo .)
4:00 Ak $m$ je zložené číslo, tak $\mathbb Z_m$ nie je pole.
7:00 Najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel
13:00 Lema 2.7: Každá podgrupa $\mathbb Z$ je tvaru $m\mathbb Z$
25:05 Lema 2.8: $H_{p,q}=\{pk+ql; k,l\in\mathbb Z\}$ je podgrupa a rovná sa $r\mathbb Z$ kde $r=\operatorname{nsd}(p,q)$
Euklidov algoritmus na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298
Wikipédia: Bézout's identity a Extended Euclidean algorithm
38:40 Dôsledok: Najväčší spoločný deliteľ sa dá vyjadriť ako $r=pu+qv$. (Bézoutova identita)
41:50 Dôsledok 2.10: Pre nesúdeliteľné čísla máme $1=pu+qv$. (Bézoutova identita)
43:41 Veta 2.11: $\mathbb Z_m$ je pole p.v.k. $m$ je prvočíslo.
55:05 Tabuľka sčítania a násobenia v poli $\mathbb Z_5$.
59:27 Rekapitulácia okruhov a polí
Vektorové priestory
1:03:00 Motivácia
1:08:20 Definícia 3.1 - vektorový priestor
Príklady vektorových priestorov
1:21:10 $F^n$ je vektorový priestor nad $F$
1:24:55 $F(M,\mathbb R)=\{f\colon M\to\mathbb R\}$ je vektorový priestor nad $\mathbb R$. (Neskôr budeme vidieť, že to je nekonečnorozmerný priestor.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Prednáška 13
Úvod: Zopakovanie definície vektorového priestoru.
6:45 Zopakovanie príkladov $F^n$ a $\mathbb R^M$
24:05 Plán čím sa budeme zaoberať: podpriestory, lineárne zobrazenia, veta o izomorfizme, dimenia, determinant, a pod.
26:40 Plán teraz - ideme robiť štandardnú jogu.
27:25 Veta 3.2: niektoré vlastnosti vektorových priestorov.
34:52 Vektorové podpriestory, definícia 3.3
41:57 Príklady vektorových podpriestorov
49:17 Veta 3.4: Kritérium vektorového podpriestoru
1:05:15 Ďalšie príklady vektorových podpriestorov
1. Niektoré súradnice sú nulové, označenie: $\mathbb F^n_{(i_1,\dots,i_n)}$ kde $i_1,\dots,i_n\in\{0,1\}$
2. Diagonála: $\Delta_{(k_1,\dots,k_n)}=\{(k_1x,\dots,k_nx); x\in\mathbb F\}$
3. Nulové na $K$: $(\mathbb R^M)_K$
4. Spojité funkcie $C(\mathbb R,\mathbb R)$
1:23:00 Veta 3.5: Prienik dvoch podpriestorov je podpriestor.
1:28:20 Príklady podmnožín, ktoré nie sú podpriestory: kružnica, $\mathbb Z^n$
Prednáška 14:
2:09 Veta 3.6: Prienik ľubovoľného (neprázdneho) systému podpriestorov je podpriestor.
5:05 Definícia prieniku systému množín.
14:10 Motivácia: najmenší podpriestor obsahujúci danú množinu.
16:47 Definícia 3.7 + veta 3.8: Najmenší podpriestor obsahujúci $A$ existuje a je jediný, označíme $S_A$.
21:05 Dôkaz vety 3.8
28:58 Konkrétne príklady $S_A$ z vety 3.8
37:00 Lineárne kombinácie vektorov, lineárny obal
40:00 Definícia 3.9: Lineárna kombinácia vektorov
44:55 Rôzne lineárne kombinácie môžu dať ten istý výsledok
50:35 Veta 3.10: Lineárne kombinácie vektorov $\vec x_1,\dots,\vec x_n$ dávajú podpriestor.
1:02:10 Označenie 3.11: $[\vec x_1,\dots,\vec x_n]$=lineárny obal
1:05:50 Veta 3.12: Lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec x_1,\dots,\vec x_n$.
1:14:15 Veta 3.13: $S_{\{\vec x_1,\dots,\vec x_n\}}=[\vec x_1,\dots,\vec x_n]$
1:18:20 Plán nabudúce: budeme študovať lineárne obaly
Úvod: Zopakovanie definície vektorového priestoru.
6:45 Zopakovanie príkladov $F^n$ a $\mathbb R^M$
24:05 Plán čím sa budeme zaoberať: podpriestory, lineárne zobrazenia, veta o izomorfizme, dimenia, determinant, a pod.
26:40 Plán teraz - ideme robiť štandardnú jogu.
27:25 Veta 3.2: niektoré vlastnosti vektorových priestorov.
34:52 Vektorové podpriestory, definícia 3.3
41:57 Príklady vektorových podpriestorov
49:17 Veta 3.4: Kritérium vektorového podpriestoru
1:05:15 Ďalšie príklady vektorových podpriestorov
1. Niektoré súradnice sú nulové, označenie: $\mathbb F^n_{(i_1,\dots,i_n)}$ kde $i_1,\dots,i_n\in\{0,1\}$
2. Diagonála: $\Delta_{(k_1,\dots,k_n)}=\{(k_1x,\dots,k_nx); x\in\mathbb F\}$
3. Nulové na $K$: $(\mathbb R^M)_K$
4. Spojité funkcie $C(\mathbb R,\mathbb R)$
1:23:00 Veta 3.5: Prienik dvoch podpriestorov je podpriestor.
1:28:20 Príklady podmnožín, ktoré nie sú podpriestory: kružnica, $\mathbb Z^n$
Prednáška 14:
2:09 Veta 3.6: Prienik ľubovoľného (neprázdneho) systému podpriestorov je podpriestor.
5:05 Definícia prieniku systému množín.
14:10 Motivácia: najmenší podpriestor obsahujúci danú množinu.
16:47 Definícia 3.7 + veta 3.8: Najmenší podpriestor obsahujúci $A$ existuje a je jediný, označíme $S_A$.
21:05 Dôkaz vety 3.8
28:58 Konkrétne príklady $S_A$ z vety 3.8
37:00 Lineárne kombinácie vektorov, lineárny obal
40:00 Definícia 3.9: Lineárna kombinácia vektorov
44:55 Rôzne lineárne kombinácie môžu dať ten istý výsledok
50:35 Veta 3.10: Lineárne kombinácie vektorov $\vec x_1,\dots,\vec x_n$ dávajú podpriestor.
1:02:10 Označenie 3.11: $[\vec x_1,\dots,\vec x_n]$=lineárny obal
1:05:50 Veta 3.12: Lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec x_1,\dots,\vec x_n$.
1:14:15 Veta 3.13: $S_{\{\vec x_1,\dots,\vec x_n\}}=[\vec x_1,\dots,\vec x_n]$
1:18:20 Plán nabudúce: budeme študovať lineárne obaly
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Prednáška 15
08:50 Veta 3.14: Vektor je lineárna kombinácia p.v.k. pridanie/vyhodenie nemení lineárny obal.
22:20 Ako nájsť kratší popis pre lineárny obal.
26:20 Ako zistiť, že vektor z F^n je lineárna kombinácia zadaných vektorov
43:05 Čo ideme robiť ďalej: Riešenie sústav
44:00 Definícia 4.1: Sústava lineárnych rovníc
53:05 Definícia 4.2: Riešenie sústavy
58:15 Základná idea - chceme sa snažiť systém upraviť na jednoduchšie; potrebujeme vedieť, aké sú povolené úpravy.
59:30 Definícia 4.3 - ekvivalentné systémy lineárnych rovníc
1:01:20 Definícia 4.4, veta 4.5 - ekvivalentné úpravy
1:11:10 Zámer: Ekvivalentnými úpravami previesť na systém, ktorý vieme vyriešiť.
1:12:20 Gaussova eliminačná metóda
1:15:00 Popis algoritmu
Prednáška 16
5:00 Poznámky ku GEM
5:35 Príklad riešenia sústavy
15:50 Zápis do tabuľky (matice)
18:40 $R(S)$ nemusí byť podpriestor - ale neskôr uvidíme, že to bude podpriestor ak pravé strany sú nulové; je úzky vzťah medzi $R(S)$ a $R(S')$, kde v $S'$ sme pravé strany nahradili nulami
22:30 Software na riešenie sústav
23:25 Sumár možností pre $R(S)$
24:50 Súvis s hľadaním vyjadrenia vektora ako LK (a tiež s riešiteľnosti)
29:10 Vektorové priestory II
29:55 Motivácia: Chceme sa dostať k pojmu dimenzie vektorového priestoru
41:50 Definícia 5.1: lineárna závislosť, nezávislosť
47:05 Príklad lineárne závislých vektorov
49:20 Veta 5.1: Lineárne závislé = jeden z nich je LK ostatných
58:40 Dôsledok 5.2: Lineárne závislé = jeden z nich je LK predchádzajúcich
59:40 Dôsledok 5.3: Lineárne závislé = niektorý sa dá vyhodiť bez zmeny obalu
08:50 Veta 3.14: Vektor je lineárna kombinácia p.v.k. pridanie/vyhodenie nemení lineárny obal.
22:20 Ako nájsť kratší popis pre lineárny obal.
26:20 Ako zistiť, že vektor z F^n je lineárna kombinácia zadaných vektorov
43:05 Čo ideme robiť ďalej: Riešenie sústav
44:00 Definícia 4.1: Sústava lineárnych rovníc
53:05 Definícia 4.2: Riešenie sústavy
58:15 Základná idea - chceme sa snažiť systém upraviť na jednoduchšie; potrebujeme vedieť, aké sú povolené úpravy.
59:30 Definícia 4.3 - ekvivalentné systémy lineárnych rovníc
1:01:20 Definícia 4.4, veta 4.5 - ekvivalentné úpravy
1:11:10 Zámer: Ekvivalentnými úpravami previesť na systém, ktorý vieme vyriešiť.
1:12:20 Gaussova eliminačná metóda
1:15:00 Popis algoritmu
Prednáška 16
5:00 Poznámky ku GEM
5:35 Príklad riešenia sústavy
15:50 Zápis do tabuľky (matice)
18:40 $R(S)$ nemusí byť podpriestor - ale neskôr uvidíme, že to bude podpriestor ak pravé strany sú nulové; je úzky vzťah medzi $R(S)$ a $R(S')$, kde v $S'$ sme pravé strany nahradili nulami
22:30 Software na riešenie sústav
23:25 Sumár možností pre $R(S)$
24:50 Súvis s hľadaním vyjadrenia vektora ako LK (a tiež s riešiteľnosti)
29:10 Vektorové priestory II
29:55 Motivácia: Chceme sa dostať k pojmu dimenzie vektorového priestoru
41:50 Definícia 5.1: lineárna závislosť, nezávislosť
47:05 Príklad lineárne závislých vektorov
49:20 Veta 5.1: Lineárne závislé = jeden z nich je LK ostatných
58:40 Dôsledok 5.2: Lineárne závislé = jeden z nich je LK predchádzajúcich
59:40 Dôsledok 5.3: Lineárne závislé = niektorý sa dá vyhodiť bez zmeny obalu
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Prednáška 17
Úvod: Ideme budovať pojem dimenzie, ako to budeme robiť.$\newcommand{\F}{\mathbb F}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}$
6:00 Pripomenutie pojomov: Lineárna kombinácia, lineárna (ne)závislosť, lineárny obal.
13:22 Steinitzova veta (veta 5.5)
20:50 Dôkaz Steinitzovej vety
44:30 Definícia 5.6: Konečne generovaný vektorový priestor
47:00 Definícia 5.7: Báza
50:00 Plán: Chceme ukázať, že každý konečne generovaný priestor má bázu.
50:29 Príklad, že báza nie je určená jednoznačne.
53:10 Veta 5.8: V každom konečne generovanom priestore (s výnimkou $V=\{\vec0\}$) existuje báza.
58:28 Veta 5.9: Ľubovoľné dve bázy toho istého priestoru majú rovnaký počet prvkov.
1:02:55 Definícia 5.10: dimenzia vektorového priestoru.
1:04:50 Poznámka: Dimenzia je dobre definovaná.
1:05:35 Príklady: $\dim_{\F}(\F^n)=n$, $\dim_{\R}(\R)=1$, $\dim_{\R}(\C)=2$
1:07:50 Budeme chcieť vedieť nájsť dimenziu $R(S)$ (množiny riešení homogénneho systému lineárnych rovníc), nájsť preň bázu.
1:10:25 Veta 5.11: Lineárne nezávislá podmnožina sa dá doplniť na bázu.
1:18:20 Dôsledok 5.12: Ak mám viac vektorov než dimenzia, tak sú lineárne závislé.
1:20:55 Dôsledok 5.13: Ak mám počet vektorov rovný dimenzii: báza $\Leftrightarrow$ lineárne nezávislé $\Leftrightarrow$ generujú.
1:26:35 Veta 5.14: Báza $\Leftrightarrow$ každý vektor sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia.
Prednáška 18
Zopakovanie pojmov: báza, dimenzia. Zopakovanie vety 5.14.
3:05 Definícia 5.15: Súradnice vektora $\vec x$ vzhľadom na bázu $(\vec a_1,\dots,\vec a_n)$.
7:20 Čo vieme povedať o vzťahu medzi súradnicami v dvoch rôznych bázach? (Bude v letnom semestri.)
8:50 Príklad výpočtu súradníc vektora v dvoch rôznych bázach. Vysvetlenie ako to súvisí s riešením sústavy.
21:38 Príklad priestoru, ktorý nie je konečne generovaný: $V=\mathbb R[t]$
37:17 Vidíme teda, že existujú aj nekonečnorozmerné vektorové priestory, my sa však budeme zaoberať najmä konečnorozmernými. S nekonečnorozmenými priestormi budete veľa pracovať vo funkcionálnej analýze.
40:07 Súčty vektorových priestorov
42:25 Veta 5.16: Ak $S$, $T$ sú podpriestory, tak aj $S+T=\{\vec s+\vec t; \vec s\in S, \vec t\in T \}$ je podpriestor. Voláme ho lineárny súčet $S$ a $T$.
44:57 Dôkaz vety 5.16.
48:35 Domáca úloha: $S+T=S_{S\cup T}$
50:15 Veta 5.17: Grassmanov vzorec $\dim(S+T)=\dim(S)+\dim(T)-\dim(S\cap T)$
51:55 Poznámky a príklady ku Grassmanovmu vzorcu.
56:55 Dôkaz Grassmanovho vzorca.
1:11:55 Priamy súčet podpriestorov.
1:12:20 Definícia 5.18: Priamy súčet; $\dim(S\oplus T)=\dim(S)+\dim(T)$
1:14:15 Veta 5.19: $P=S\oplus T$ $\Leftrightarrow$ Každý vektor z $P$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare súčtu vektora z $S$ a vektora z $T$.
1:15:50 Príklad na priamy súčet.
1:18:25 Dôkaz vety 5.19.
Úvod: Ideme budovať pojem dimenzie, ako to budeme robiť.$\newcommand{\F}{\mathbb F}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}$
6:00 Pripomenutie pojomov: Lineárna kombinácia, lineárna (ne)závislosť, lineárny obal.
13:22 Steinitzova veta (veta 5.5)
20:50 Dôkaz Steinitzovej vety
44:30 Definícia 5.6: Konečne generovaný vektorový priestor
47:00 Definícia 5.7: Báza
50:00 Plán: Chceme ukázať, že každý konečne generovaný priestor má bázu.
50:29 Príklad, že báza nie je určená jednoznačne.
53:10 Veta 5.8: V každom konečne generovanom priestore (s výnimkou $V=\{\vec0\}$) existuje báza.
58:28 Veta 5.9: Ľubovoľné dve bázy toho istého priestoru majú rovnaký počet prvkov.
1:02:55 Definícia 5.10: dimenzia vektorového priestoru.
1:04:50 Poznámka: Dimenzia je dobre definovaná.
1:05:35 Príklady: $\dim_{\F}(\F^n)=n$, $\dim_{\R}(\R)=1$, $\dim_{\R}(\C)=2$
1:07:50 Budeme chcieť vedieť nájsť dimenziu $R(S)$ (množiny riešení homogénneho systému lineárnych rovníc), nájsť preň bázu.
1:10:25 Veta 5.11: Lineárne nezávislá podmnožina sa dá doplniť na bázu.
1:18:20 Dôsledok 5.12: Ak mám viac vektorov než dimenzia, tak sú lineárne závislé.
1:20:55 Dôsledok 5.13: Ak mám počet vektorov rovný dimenzii: báza $\Leftrightarrow$ lineárne nezávislé $\Leftrightarrow$ generujú.
1:26:35 Veta 5.14: Báza $\Leftrightarrow$ každý vektor sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia.
Prednáška 18
Zopakovanie pojmov: báza, dimenzia. Zopakovanie vety 5.14.
3:05 Definícia 5.15: Súradnice vektora $\vec x$ vzhľadom na bázu $(\vec a_1,\dots,\vec a_n)$.
7:20 Čo vieme povedať o vzťahu medzi súradnicami v dvoch rôznych bázach? (Bude v letnom semestri.)
8:50 Príklad výpočtu súradníc vektora v dvoch rôznych bázach. Vysvetlenie ako to súvisí s riešením sústavy.
21:38 Príklad priestoru, ktorý nie je konečne generovaný: $V=\mathbb R[t]$
37:17 Vidíme teda, že existujú aj nekonečnorozmerné vektorové priestory, my sa však budeme zaoberať najmä konečnorozmernými. S nekonečnorozmenými priestormi budete veľa pracovať vo funkcionálnej analýze.
40:07 Súčty vektorových priestorov
42:25 Veta 5.16: Ak $S$, $T$ sú podpriestory, tak aj $S+T=\{\vec s+\vec t; \vec s\in S, \vec t\in T \}$ je podpriestor. Voláme ho lineárny súčet $S$ a $T$.
44:57 Dôkaz vety 5.16.
48:35 Domáca úloha: $S+T=S_{S\cup T}$
50:15 Veta 5.17: Grassmanov vzorec $\dim(S+T)=\dim(S)+\dim(T)-\dim(S\cap T)$
51:55 Poznámky a príklady ku Grassmanovmu vzorcu.
56:55 Dôkaz Grassmanovho vzorca.
1:11:55 Priamy súčet podpriestorov.
1:12:20 Definícia 5.18: Priamy súčet; $\dim(S\oplus T)=\dim(S)+\dim(T)$
1:14:15 Veta 5.19: $P=S\oplus T$ $\Leftrightarrow$ Každý vektor z $P$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare súčtu vektora z $S$ a vektora z $T$.
1:15:50 Príklad na priamy súčet.
1:18:25 Dôkaz vety 5.19.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Prednáška 19
https://www.youtube.com/watch?v=3tNUpEdXR_Q
0:55 Čo ideme robiť - matice, už sme ich používali pri sústavách lineárnych rovníc.
3:55 Definícia 6.1: Matica
10:30 Štvorcová matica, jednotková matica.
14:40 Definícia 6.2: Rovnosť matíc
18:15 $M_{k,s}(\mathbb F)$ = množina všetkých matíc typu $k\times s$ nad poľom $\mathbb F$
19:05 Čo chcem robiť s maticami. Cieľ: Hodnosť matice $h(A)$ je dimenzia podpriestoru $S_A$, ktorý je nejako určený maticou $A$. To nám dá nejaké zaujímavé informácie o matici $A$.
21:05 Sčitovanie matíc
25:20 Veta 6.4: $(M_{k,s}(\mathbb F),+)$ je komutatívna grupa
30:25 Definícia 6.5: Násobenie matice skalárom.
33:35 Veta 6.6: $M_{k,s}(\mathbb F)$ je vektorový priestor nad $\mathbb F$
34:10 Veta 6.7: $\dim(M_{k,s})=ks$, matice $E_{ij}$ tvoria bázu (jediná jednotka je v $i$-tom riadku a $j$-tom stĺpci, inde sú nuly)
38:08 Dôkaz vety 6.7.
43:40 Definícia 6.8: $S_A$ = riadkový podpriestor prislúchajúci k matici $A$
48:40 Poznámka: Môže sa stať, že $S_A=S_B$ aj pre $A\ne B$.
50:48 Otázka: Existuje nejaký súvis medzi $A$ a $B$, ak platí $S_A=S_B$?
52:58 Definícia 6.9: Elementárne riadkové operácie
56:25 Domácia úloha: Zapísať ERO pomocou zápisu $A=(a_{ij})$.
57:55 Definícia 6.10: Riadkovo ekvivalentné matice; $A \approx B$.
1:00:10 Veta 6.11. Relácia $\approx$ je relácia ekvivalencie na $M_{k,s}(\mathbb F)$. (Každá z ERO sa dá otočiť.)
1:03:05 Veta 6.12. Ak $A\approx B$, tak $S_A=S_B$.
1:04:10 Dôkaz vety 6.12.
1:19:30 Neskôr sa dostaneme k opačnej implikácii.
1:19:45 Chceme medzi maticami riadkovo ekvivalentnými s $A$ nájsť nejakú jednoducho vyzerajúcu maticu.
1:21:00 Definícia 6.13: Stupňovitá matica, redukovaná stupňovitá matica.
1:31:45 Obrázok k definícii RSM.
1:35:30 Horná trojuholníková matica.
1:39:40 Príklad SM a RSM.
1:41:10 Čo by sme vedeli dostať, ak by sme navyše mohli prehadzovať stĺpce.
Prednáška 20
https://www.youtube.com/watch?v=HgjPUCLBrwk
Opakovanie: Teraz sa venujeme maticiam. Definovali sme RSM. Ukázali sme $A\approx B$ $\Rightarrow$ $S_A=S_B$. Chceme ukázať opačnú implikáciu.
4:10 Veta 6.14. Nenulové riadky RSM sú lineárne nezávislé.
12:30 Veta 6.15. Ku každej matici A existuje redukovaná stupňovitá matica $B$ taká, že $A\approx B$.
13:05 Príklad výpočtu RSM.
19:35 Dôkaz vety 6.15 sme preskočili.
20:25 Definícia 6.16. hodnosť matice $h(A)$
23:30 $h(A)$ = maximálny počet lineárne nezávislých riadkov $A$; ak $A$ je RSM (resp. SM) tak $h(A)$ je počet nenulových riadkov
26:00 Veta 6.17: Ak $A\approx B$, tak $h(A)=h(B)$.
30:45 Veta 6.18: Ak $A$, $B$ sú RSM rovnakých rozmerov $S_A=S_B$
33:05 Dôkaz vety 6.18.
56:05 Veta 6.19. Ak $A$, $B$ sú matice rovnakých rozmerov, tak: $A\approx B$ $\Leftrightarrow$ $S_A=S_B$.
57:45 Schéma dôkazu vety 6.19.
1:03:20 Dôkaz vety 6.19.
1:06:50 Dôsledok 6.20: Pre každú maticu existuje práve jedna RSM, ktorá je s ňou riadkovo ekvivalentná.
1:09:20 Veta 6.21: $A\approx B$ p.v.k. $A$ aj $B$ sa dajú konečný počtom ERO upraviť na tú istú RSM.
1:13:40 Príklad - overenie či zadané maticú sú riadkovo ekvivalentné
1:16:24 Sumár
1:18:10 Plán nabudúce: Lineárne zobrazenia (a časom sa dostaneme k tomu, ako súvisia s maticami a aj so sústavami lineárnych rovníc)
https://www.youtube.com/watch?v=3tNUpEdXR_Q
0:55 Čo ideme robiť - matice, už sme ich používali pri sústavách lineárnych rovníc.
3:55 Definícia 6.1: Matica
10:30 Štvorcová matica, jednotková matica.
14:40 Definícia 6.2: Rovnosť matíc
18:15 $M_{k,s}(\mathbb F)$ = množina všetkých matíc typu $k\times s$ nad poľom $\mathbb F$
19:05 Čo chcem robiť s maticami. Cieľ: Hodnosť matice $h(A)$ je dimenzia podpriestoru $S_A$, ktorý je nejako určený maticou $A$. To nám dá nejaké zaujímavé informácie o matici $A$.
21:05 Sčitovanie matíc
25:20 Veta 6.4: $(M_{k,s}(\mathbb F),+)$ je komutatívna grupa
30:25 Definícia 6.5: Násobenie matice skalárom.
33:35 Veta 6.6: $M_{k,s}(\mathbb F)$ je vektorový priestor nad $\mathbb F$
34:10 Veta 6.7: $\dim(M_{k,s})=ks$, matice $E_{ij}$ tvoria bázu (jediná jednotka je v $i$-tom riadku a $j$-tom stĺpci, inde sú nuly)
38:08 Dôkaz vety 6.7.
43:40 Definícia 6.8: $S_A$ = riadkový podpriestor prislúchajúci k matici $A$
48:40 Poznámka: Môže sa stať, že $S_A=S_B$ aj pre $A\ne B$.
50:48 Otázka: Existuje nejaký súvis medzi $A$ a $B$, ak platí $S_A=S_B$?
52:58 Definícia 6.9: Elementárne riadkové operácie
56:25 Domácia úloha: Zapísať ERO pomocou zápisu $A=(a_{ij})$.
57:55 Definícia 6.10: Riadkovo ekvivalentné matice; $A \approx B$.
1:00:10 Veta 6.11. Relácia $\approx$ je relácia ekvivalencie na $M_{k,s}(\mathbb F)$. (Každá z ERO sa dá otočiť.)
1:03:05 Veta 6.12. Ak $A\approx B$, tak $S_A=S_B$.
1:04:10 Dôkaz vety 6.12.
1:19:30 Neskôr sa dostaneme k opačnej implikácii.
1:19:45 Chceme medzi maticami riadkovo ekvivalentnými s $A$ nájsť nejakú jednoducho vyzerajúcu maticu.
1:21:00 Definícia 6.13: Stupňovitá matica, redukovaná stupňovitá matica.
1:31:45 Obrázok k definícii RSM.
1:35:30 Horná trojuholníková matica.
1:39:40 Príklad SM a RSM.
1:41:10 Čo by sme vedeli dostať, ak by sme navyše mohli prehadzovať stĺpce.
Prednáška 20
https://www.youtube.com/watch?v=HgjPUCLBrwk
Opakovanie: Teraz sa venujeme maticiam. Definovali sme RSM. Ukázali sme $A\approx B$ $\Rightarrow$ $S_A=S_B$. Chceme ukázať opačnú implikáciu.
4:10 Veta 6.14. Nenulové riadky RSM sú lineárne nezávislé.
12:30 Veta 6.15. Ku každej matici A existuje redukovaná stupňovitá matica $B$ taká, že $A\approx B$.
13:05 Príklad výpočtu RSM.
19:35 Dôkaz vety 6.15 sme preskočili.
20:25 Definícia 6.16. hodnosť matice $h(A)$
23:30 $h(A)$ = maximálny počet lineárne nezávislých riadkov $A$; ak $A$ je RSM (resp. SM) tak $h(A)$ je počet nenulových riadkov
26:00 Veta 6.17: Ak $A\approx B$, tak $h(A)=h(B)$.
30:45 Veta 6.18: Ak $A$, $B$ sú RSM rovnakých rozmerov $S_A=S_B$
33:05 Dôkaz vety 6.18.
56:05 Veta 6.19. Ak $A$, $B$ sú matice rovnakých rozmerov, tak: $A\approx B$ $\Leftrightarrow$ $S_A=S_B$.
57:45 Schéma dôkazu vety 6.19.
1:03:20 Dôkaz vety 6.19.
1:06:50 Dôsledok 6.20: Pre každú maticu existuje práve jedna RSM, ktorá je s ňou riadkovo ekvivalentná.
1:09:20 Veta 6.21: $A\approx B$ p.v.k. $A$ aj $B$ sa dajú konečný počtom ERO upraviť na tú istú RSM.
1:13:40 Príklad - overenie či zadané maticú sú riadkovo ekvivalentné
1:16:24 Sumár
1:18:10 Plán nabudúce: Lineárne zobrazenia (a časom sa dostaneme k tomu, ako súvisia s maticami a aj so sústavami lineárnych rovníc)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Prednáška 21
https://www.youtube.com/watch?v=B0PuP-MYC0Q
Lineárne zobrazenia
1:22 Pripomeňme: Homomorfizmy grúp (a veta o izomorfizme)
6:15 Cieľ: Pre vektorové priestory definovať analogický pojem
6:55 Definícia 7.1: Lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestormi: $f(\alpha\vec x+\beta\vec y)=\alpha f(\vec x)+\beta f(\vec y)$
13:15 Poznámka: $f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)$, je to homomorfizmus grúp $(V,+)\to(W,+)$; platí aj $f(\alpha\vec x)=\alpha f(\vec x)$
17:24 Pre lineárne zobrazenie platí $f(\vec0)=\vec0$.
20:48 Príklad 0: $0(\vec v)=\vec0$
21:50 Príklad 1: $id_V\colon V\to V$
23:00 Príklad 2: Ak $k\le n$ tak definujeme
$\pi_{n,k}\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^k$, $(x_1,\dots,x_n)\mapsto(x_1,\dots,x_k)$
$\iota_{k,n}\colon\mathbb R^k\to\mathbb R^n$, $(x_1,\dots,x_k)\mapsto(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)$
26:55 Príklad 3: $(x_1,x_2)\mapsto(3,2x_1,x_1+x_2)$ nie je lineárne zobrazenie
28:27 Príklad 4: Viacero zobrazení $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$:
$f_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}(x_1,x_2)=(\alpha x_1+\beta x_2,\gamma x_1+\delta x_2)$
31:30 Príklad 4a: $f_a(x_1,x_2)=(x_1+x_2,x_2)$; skosenie
36:45 Príklad 4b: $f_b(x_1,x_2)=(-x_1,x_2)$; osová symetria (zrkadlenie) podľa vodorovnej osi
39:45 Príklad 4c: $f_c(x_1,x_2)=(x_2,-x_1)$; otočenie o $\pi/2$ v kladnom smere
44:05 Príklad 4d: $f_d(x_1,x_2)=(\alpha x_1,\delta x_2)$; škálovanie
48:35 Plán: Budeme pokračovať v budovaní teórie lineárnych zobrazení (viaceré veci budú analogické ako pre homomorfizmy)
50:00 Veta 7.3: obraz a vzor podpriestoru, $\operatorname{Im} f$, $\operatorname{Ker} f$
1:05:00 Veta 7.4: Pre lineárne zobrazenia platí: injektívne $\Leftrightarrow$ $\operatorname{Ker} f=\{\vec 0\}$, surjektívne $\Leftrightarrow$ $\operatorname{Im} f=W$
1:08:45 Definícia 7.5: lineárny izomorfizmus, izomorfné vektorové priestory $V\cong W$ (ak existuje izomorfizmus $f\colon V\overset\cong\to W$)
1:13:15 Veta 7.6: Ak $f$ je lineárny izomorfimus, tak aj $f^{-1}$ je lineárne.
1:19:34 Veta 7.7: Zloženie dvoch lineárnych zobrazení (lineárnych izomorfizmov).
1:22:49 Príklad: Lineárne zobrazenie $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ je jednoznačne určené ak máme dané $f(\vec e_1)$, $f(\vec e_2)$
$f(x_1,x_2)=f(x_1\vec e_1+x_2\vec e_2)=x_1f(\vec e_1)+x_2f(\vec e_2)$
1:29:50 Veta 7.7 - Základná veta o lineárnych zobrazeniach (lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov)
1:37:10 Dôkaz základnej vety o lineárny zobrazeniach
1:59:10 Poznámka: Z dôkazu vidíme aj to, ako takéto zobrazenie vyzerá.
Prednáška 22
https://www.youtube.com/watch?v=ZwnZaESeAwg
Zobpakovanie - lineárne zobrazenia, zachovávajú lineárne kombinácie, základná veta o lineárnych zobrazeniach
6:15 Plán: Súvis medzi lineárnymi zobrazeniami a maticami
7:20 Definícia 7.8: $M_f$ matica lineárneho zobrazenia ($i$-ty riadok je $f(\vec e_i)$
11:20 Poznámka: Ako vyzerá matica, v iných knihách to môže byť v stĺpcoch
16:00 Príklad 1: $id_{\mathbb R^n}$ a jednotková matica $I_n$
18:52 $g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$; $(x,y)\mapsto(2x_1+x_2,-x_1+x_2)$ má maticu $M_g=\begin{pmatrix}
2 &-1 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}$
Domáca úloha: Matice pre zobrazenia z príkladu 4 z minulej prednášky.
22:55 Definícia 7.9: $f_A$ (zobrazenie určené maticou)
25:40 Poznámka: Zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach vieme, že matica jednoznačne definuje lineárne zobrazenie.
29:00 Príklad zobrazenia určeného maticou
35:35 Dôsledok 7.10: $f_A(\vec x)=(\sum\limits_{i=1}^m x_ia_{i1},\dots,\sum\limits_{i=1}^m x_ia_{ij},\dots,\sum\limits_{i=1}^m x_ia_{in})$
43:20 Poznámka: Interpretácia vzorca z dôsledku 7.10 tak, že riadky matice $A$ násobíme jednotlivými súradnicami vektora $\vec x$.
50:15 Poznámka:
Ak z $g$ urobím maticu $M_g$, tak príslušné zobrazenie je $f_{M_g}=g$.
Ak z $A$ urobím lineárne zobrazenie $f_A$, tak príslušná matica je $M_{f_A}=A$.
(Teda zobrazenia $f\mapsto M_f$ a $A\mapsto f_A$ sú navzájom inverzné.)
57:30 Dôsledok 7.11: Bijekcia medzi $L(\mathbb F^m,\mathbb F^n)$ a $M_{m,n}(\mathbb F)$ (medzi lineárnymi zobrazeniami a maticami)
1:02:20 Otázka: Aká operácia medzi maticami zodpovedá $g\circ f$.
1:03:10 Definícia 7.12: Súčin matíc
1:10:35 Poznámka: Ako si zapamätať súčin matíc
1:18:45 Poznámka: $f_A(\vec x)=\vec x\cdot A$ (iný zápis vzorca z dôsledku 7.10)
1:22:30 Veta 7.13: $M_{g\circ f}=M_f\cdot M_g$
1:25:18 Dôkaz vety 7.13.
1:34:00 Sumár vecí o maticiach a zobrazeniach
1:34:22 Ďalej: Vrátime sa k lineárnym zobrazeniam. (Napríklad k tomu, ako vyzerá matica inverzného zobrazenia.)
https://www.youtube.com/watch?v=B0PuP-MYC0Q
Lineárne zobrazenia
1:22 Pripomeňme: Homomorfizmy grúp (a veta o izomorfizme)
6:15 Cieľ: Pre vektorové priestory definovať analogický pojem
6:55 Definícia 7.1: Lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestormi: $f(\alpha\vec x+\beta\vec y)=\alpha f(\vec x)+\beta f(\vec y)$
13:15 Poznámka: $f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)$, je to homomorfizmus grúp $(V,+)\to(W,+)$; platí aj $f(\alpha\vec x)=\alpha f(\vec x)$
17:24 Pre lineárne zobrazenie platí $f(\vec0)=\vec0$.
20:48 Príklad 0: $0(\vec v)=\vec0$
21:50 Príklad 1: $id_V\colon V\to V$
23:00 Príklad 2: Ak $k\le n$ tak definujeme
$\pi_{n,k}\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^k$, $(x_1,\dots,x_n)\mapsto(x_1,\dots,x_k)$
$\iota_{k,n}\colon\mathbb R^k\to\mathbb R^n$, $(x_1,\dots,x_k)\mapsto(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)$
26:55 Príklad 3: $(x_1,x_2)\mapsto(3,2x_1,x_1+x_2)$ nie je lineárne zobrazenie
28:27 Príklad 4: Viacero zobrazení $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$:
$f_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}(x_1,x_2)=(\alpha x_1+\beta x_2,\gamma x_1+\delta x_2)$
31:30 Príklad 4a: $f_a(x_1,x_2)=(x_1+x_2,x_2)$; skosenie
36:45 Príklad 4b: $f_b(x_1,x_2)=(-x_1,x_2)$; osová symetria (zrkadlenie) podľa vodorovnej osi
39:45 Príklad 4c: $f_c(x_1,x_2)=(x_2,-x_1)$; otočenie o $\pi/2$ v kladnom smere
44:05 Príklad 4d: $f_d(x_1,x_2)=(\alpha x_1,\delta x_2)$; škálovanie
48:35 Plán: Budeme pokračovať v budovaní teórie lineárnych zobrazení (viaceré veci budú analogické ako pre homomorfizmy)
50:00 Veta 7.3: obraz a vzor podpriestoru, $\operatorname{Im} f$, $\operatorname{Ker} f$
1:05:00 Veta 7.4: Pre lineárne zobrazenia platí: injektívne $\Leftrightarrow$ $\operatorname{Ker} f=\{\vec 0\}$, surjektívne $\Leftrightarrow$ $\operatorname{Im} f=W$
1:08:45 Definícia 7.5: lineárny izomorfizmus, izomorfné vektorové priestory $V\cong W$ (ak existuje izomorfizmus $f\colon V\overset\cong\to W$)
1:13:15 Veta 7.6: Ak $f$ je lineárny izomorfimus, tak aj $f^{-1}$ je lineárne.
1:19:34 Veta 7.7: Zloženie dvoch lineárnych zobrazení (lineárnych izomorfizmov).
1:22:49 Príklad: Lineárne zobrazenie $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ je jednoznačne určené ak máme dané $f(\vec e_1)$, $f(\vec e_2)$
$f(x_1,x_2)=f(x_1\vec e_1+x_2\vec e_2)=x_1f(\vec e_1)+x_2f(\vec e_2)$
1:29:50 Veta 7.7 - Základná veta o lineárnych zobrazeniach (lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov)
1:37:10 Dôkaz základnej vety o lineárny zobrazeniach
1:59:10 Poznámka: Z dôkazu vidíme aj to, ako takéto zobrazenie vyzerá.
Prednáška 22
https://www.youtube.com/watch?v=ZwnZaESeAwg
Zobpakovanie - lineárne zobrazenia, zachovávajú lineárne kombinácie, základná veta o lineárnych zobrazeniach
6:15 Plán: Súvis medzi lineárnymi zobrazeniami a maticami
7:20 Definícia 7.8: $M_f$ matica lineárneho zobrazenia ($i$-ty riadok je $f(\vec e_i)$
11:20 Poznámka: Ako vyzerá matica, v iných knihách to môže byť v stĺpcoch
16:00 Príklad 1: $id_{\mathbb R^n}$ a jednotková matica $I_n$
18:52 $g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$; $(x,y)\mapsto(2x_1+x_2,-x_1+x_2)$ má maticu $M_g=\begin{pmatrix}
2 &-1 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}$
Domáca úloha: Matice pre zobrazenia z príkladu 4 z minulej prednášky.
22:55 Definícia 7.9: $f_A$ (zobrazenie určené maticou)
25:40 Poznámka: Zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach vieme, že matica jednoznačne definuje lineárne zobrazenie.
29:00 Príklad zobrazenia určeného maticou
35:35 Dôsledok 7.10: $f_A(\vec x)=(\sum\limits_{i=1}^m x_ia_{i1},\dots,\sum\limits_{i=1}^m x_ia_{ij},\dots,\sum\limits_{i=1}^m x_ia_{in})$
43:20 Poznámka: Interpretácia vzorca z dôsledku 7.10 tak, že riadky matice $A$ násobíme jednotlivými súradnicami vektora $\vec x$.
50:15 Poznámka:
Ak z $g$ urobím maticu $M_g$, tak príslušné zobrazenie je $f_{M_g}=g$.
Ak z $A$ urobím lineárne zobrazenie $f_A$, tak príslušná matica je $M_{f_A}=A$.
(Teda zobrazenia $f\mapsto M_f$ a $A\mapsto f_A$ sú navzájom inverzné.)
57:30 Dôsledok 7.11: Bijekcia medzi $L(\mathbb F^m,\mathbb F^n)$ a $M_{m,n}(\mathbb F)$ (medzi lineárnymi zobrazeniami a maticami)
1:02:20 Otázka: Aká operácia medzi maticami zodpovedá $g\circ f$.
1:03:10 Definícia 7.12: Súčin matíc
1:10:35 Poznámka: Ako si zapamätať súčin matíc
1:18:45 Poznámka: $f_A(\vec x)=\vec x\cdot A$ (iný zápis vzorca z dôsledku 7.10)
1:22:30 Veta 7.13: $M_{g\circ f}=M_f\cdot M_g$
1:25:18 Dôkaz vety 7.13.
1:34:00 Sumár vecí o maticiach a zobrazeniach
1:34:22 Ďalej: Vrátime sa k lineárnym zobrazeniam. (Napríklad k tomu, ako vyzerá matica inverzného zobrazenia.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Stručný sumár jednotlivých prednášok
Prednáška 23
https://www.youtube.com/watch?v=xFzrbne9aJ4
Opakovanie - lineárne zobrazenie, matica zobrazenia, korešpondencia medzi $L(\mathbb F^m,\mathbb F^n)$ a $M_{m,n}(\mathbb F)$
8:00 $f_A(\vec x)=\vec x\cdot A$ (a zopakovanie ako sa násobí)
12:20 Zopakovanie ako funguje súčin matíc a vzťah $M_{g\circ f}=M_f\cdot M_g$
20:30 Plán: Chceme sa pozrieť na vlastnosti súčinu matíc
20:52 Veta 7.14: Násobenie jednotkovou maticou, asociatívnosť, distributívnosť. Násobenie matíc vo všeobecnosti nie je komutatívne. $(M_{m,n}(\mathbb F),+,\cdot)$ je nekomutatívny okruh s jednotkou.
28:45 Dôkaz o násobení jednotkovou maticou.
32:15 Dôkaz asociatívnosti (pomocou asociatívnosti skladania zobrazení)
35:00 Dôkaz distributívnosti - d.ú.
35:58 Príklad, že súčin matíc nie je komutatívny.
39:35 Veta 7.13': $f_{AB}=f_B\circ f_A$
43:55 Plán: Kedy je lineárne zobrazenie injektívne/surjektívne?
46:30 Veta 7.15: Charakterizácia injektívnosti/surjektívnosti pomocou obrazov bázových vektorov.
50:10 Dôkaz prvej časti vety 7.15.
59:45 Dôsledok 7.16: Izomorfizmus $\Leftrightarrow$ zobrazuje bázu na bázu.
1:04:15 Dôsledok 7.17:
1. $V\cong W$ $\Rightarrow$ $\dim(V)=\dim(W)$
2. $\mathbb F^m \cong \mathbb F^n$ $\Leftrightarrow$ $m=n$
3. Ak $V$ je $n$-rozmerný vektorový priestor nad $\mathbb F$, tak $V\cong\mathbb F^n$.
1:09:05 Dôkaz dôsledku 7.17.
1:11:00 Lema 7.18: Ak $V$ je konečne generovaný a $S$ je podpriestor $V$, tak platí: $S=V$ $\Leftrightarrow$ $\dim(S)=\dim(V)$.
1:13:00 Dôkaz lemy 7.18.
1:15:50 Plán: Vieme z matice vyčítať, že lineárne zobrazenie je injektívne/surjektívne?
1:16:30 Veta 7.19: Charakterizácia injektívnosti/surjektívnosti pomocou $h(A)$.
1:18:20 Zopakovanie definície $h(A)$ a nejakých vecí o hodnosti.
1:23:30 Dôkaz vety 7.19.
1:32:00 Zopakovanie vecí z tejto prednášky
Prednáška 24
https://www.youtube.com/watch?v=xCX9-a4DWYU
0:10 Opakovanie: Vzťah medzi $L(\mathbb F^m,\mathbb F^n)$ a $M_{m,n}(\mathbb F)$, priradenia $f\mapsto M_f$ a $A\mapsto f_A$, ktoré sú navzájom inverzné.
2:10 Opakovanie: Vzťah medzi skladaním lineárnych zobrazení a súčinom matíc, podmienky na $h(A)$ vyjadrujúce surjektívnosť, injektívnosť, bijektívnosť.
4:25 Plán: Ideme sa pozrieť na prípad $m=n$ a pozrieť sa na na inverzné zobrazenie k lineárne izomorfizmu.
7:00 Definícia 7.20: Lineárna transformácia $\mathbb F^m$ (=lineárne zobrazenie $\mathbb F^m\to\mathbb F^m$); regulárna lineárna transformácia $\mathbb F^m$.
9:10 Veta 7.21: regulárna $\Leftrightarrow$ $h(M_f)=m$
10:00 Definícia 7.22: Regulárna matica
11:00 Definícia 7.23: Inverzná matica
13:23 Poznámka: Jednoznačnosť inverznej matice; označenie $A^{-1}$
14:25 Veta 7.24: $A^{-1}$ existuje $\Leftrightarrow$ $h(A)=m$
15:30 Dôkaz vety 7.24.
24:15 Otázka: Ako nájsť inverznú maticu.
25:50 Algoritmus na nájdenie inverznej matice.
34:25 Vysvetlenie prečo tento algoritmus funguje.
43:10 Príklad na nájdenie inverznej matice.
48:35 Definícia 7.25: transponovaná matica $A^T$
54:05 Veta 7.26: $(A^T)^T=A$, $(AB)^T=B^TA^T$
59:45 Poznámka: Riadkové vs. stĺpcové vektory ($\vec x$ a $\vec x^T$), čo tomu zodpovedá pre maticu zobrazenia.
1:04:40 Vzťah medzi ERO a súčinom matíc
1:10:30 Plán: Vrátime sa k teórii lineárnych zobrazení a ukážeme vetu o izomorfizme (analogickú k vete pre abelovské grupy).
1:11:45 Faktorové vektorové priestory
1:19:15 $\dim(V)=\dim(S)+\dim(V/S)$
1:22:55 Plán: Ideme sa pozrieť na vetu o izomorfizme.
1:24:10 Veta o izomorfizme: $V/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$
Z toho súčasne vidíme, že $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker} f)+\dim(\operatorname{Im} f)$
1:26:52 Diagram ilustrujúci vetu o izomorfizme. Ilustrácia na príklade s $\mathbb R^2$.
1:31:20 Existuje bijekcia medzi ľubovoľnými dvoma triedami rozkladu.
1:32:35 Plán na ďalšie prednášky: Vrátime sa k systémom lineárnych rovníc.
https://www.youtube.com/watch?v=xFzrbne9aJ4
Opakovanie - lineárne zobrazenie, matica zobrazenia, korešpondencia medzi $L(\mathbb F^m,\mathbb F^n)$ a $M_{m,n}(\mathbb F)$
8:00 $f_A(\vec x)=\vec x\cdot A$ (a zopakovanie ako sa násobí)
12:20 Zopakovanie ako funguje súčin matíc a vzťah $M_{g\circ f}=M_f\cdot M_g$
20:30 Plán: Chceme sa pozrieť na vlastnosti súčinu matíc
20:52 Veta 7.14: Násobenie jednotkovou maticou, asociatívnosť, distributívnosť. Násobenie matíc vo všeobecnosti nie je komutatívne. $(M_{m,n}(\mathbb F),+,\cdot)$ je nekomutatívny okruh s jednotkou.
28:45 Dôkaz o násobení jednotkovou maticou.
32:15 Dôkaz asociatívnosti (pomocou asociatívnosti skladania zobrazení)
35:00 Dôkaz distributívnosti - d.ú.
35:58 Príklad, že súčin matíc nie je komutatívny.
39:35 Veta 7.13': $f_{AB}=f_B\circ f_A$
43:55 Plán: Kedy je lineárne zobrazenie injektívne/surjektívne?
46:30 Veta 7.15: Charakterizácia injektívnosti/surjektívnosti pomocou obrazov bázových vektorov.
50:10 Dôkaz prvej časti vety 7.15.
59:45 Dôsledok 7.16: Izomorfizmus $\Leftrightarrow$ zobrazuje bázu na bázu.
1:04:15 Dôsledok 7.17:
1. $V\cong W$ $\Rightarrow$ $\dim(V)=\dim(W)$
2. $\mathbb F^m \cong \mathbb F^n$ $\Leftrightarrow$ $m=n$
3. Ak $V$ je $n$-rozmerný vektorový priestor nad $\mathbb F$, tak $V\cong\mathbb F^n$.
1:09:05 Dôkaz dôsledku 7.17.
1:11:00 Lema 7.18: Ak $V$ je konečne generovaný a $S$ je podpriestor $V$, tak platí: $S=V$ $\Leftrightarrow$ $\dim(S)=\dim(V)$.
1:13:00 Dôkaz lemy 7.18.
1:15:50 Plán: Vieme z matice vyčítať, že lineárne zobrazenie je injektívne/surjektívne?
1:16:30 Veta 7.19: Charakterizácia injektívnosti/surjektívnosti pomocou $h(A)$.
1:18:20 Zopakovanie definície $h(A)$ a nejakých vecí o hodnosti.
1:23:30 Dôkaz vety 7.19.
1:32:00 Zopakovanie vecí z tejto prednášky
Prednáška 24
https://www.youtube.com/watch?v=xCX9-a4DWYU
0:10 Opakovanie: Vzťah medzi $L(\mathbb F^m,\mathbb F^n)$ a $M_{m,n}(\mathbb F)$, priradenia $f\mapsto M_f$ a $A\mapsto f_A$, ktoré sú navzájom inverzné.
2:10 Opakovanie: Vzťah medzi skladaním lineárnych zobrazení a súčinom matíc, podmienky na $h(A)$ vyjadrujúce surjektívnosť, injektívnosť, bijektívnosť.
4:25 Plán: Ideme sa pozrieť na prípad $m=n$ a pozrieť sa na na inverzné zobrazenie k lineárne izomorfizmu.
7:00 Definícia 7.20: Lineárna transformácia $\mathbb F^m$ (=lineárne zobrazenie $\mathbb F^m\to\mathbb F^m$); regulárna lineárna transformácia $\mathbb F^m$.
9:10 Veta 7.21: regulárna $\Leftrightarrow$ $h(M_f)=m$
10:00 Definícia 7.22: Regulárna matica
11:00 Definícia 7.23: Inverzná matica
13:23 Poznámka: Jednoznačnosť inverznej matice; označenie $A^{-1}$
14:25 Veta 7.24: $A^{-1}$ existuje $\Leftrightarrow$ $h(A)=m$
15:30 Dôkaz vety 7.24.
24:15 Otázka: Ako nájsť inverznú maticu.
25:50 Algoritmus na nájdenie inverznej matice.
34:25 Vysvetlenie prečo tento algoritmus funguje.
43:10 Príklad na nájdenie inverznej matice.
48:35 Definícia 7.25: transponovaná matica $A^T$
54:05 Veta 7.26: $(A^T)^T=A$, $(AB)^T=B^TA^T$
59:45 Poznámka: Riadkové vs. stĺpcové vektory ($\vec x$ a $\vec x^T$), čo tomu zodpovedá pre maticu zobrazenia.
1:04:40 Vzťah medzi ERO a súčinom matíc
1:10:30 Plán: Vrátime sa k teórii lineárnych zobrazení a ukážeme vetu o izomorfizme (analogickú k vete pre abelovské grupy).
1:11:45 Faktorové vektorové priestory
1:19:15 $\dim(V)=\dim(S)+\dim(V/S)$
1:22:55 Plán: Ideme sa pozrieť na vetu o izomorfizme.
1:24:10 Veta o izomorfizme: $V/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$
Z toho súčasne vidíme, že $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker} f)+\dim(\operatorname{Im} f)$
1:26:52 Diagram ilustrujúci vetu o izomorfizme. Ilustrácia na príklade s $\mathbb R^2$.
1:31:20 Existuje bijekcia medzi ľubovoľnými dvoma triedami rozkladu.
1:32:35 Plán na ďalšie prednášky: Vrátime sa k systémom lineárnych rovníc.