O zobrazení $f_a(g)=a*g*a^{-1}$

[Martin Sleziak]

Zadanie

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Nech $(G,*)$ je grupa. Pre $a\in G$ definujme $f_a\colon G\to G$ predpisom $f_a(g)=a*g*\inv a$. Dokážte, že pre každé $a\in G$ je zobrazenie $f_a$ bijektívne.

Do istej miery by vám táto úloha mohla pripomínať úlohu, ktorú ste videli na cvičeniach - s funkciou $g\mapsto a*g$.

Riešenie a poznámky k nemu

Budem používať, označenie $f_a(x)=a*x*\inv a$, jednoducho z toho dôvodu, že sme viac zvyknutí používať ako premennú písmenko $x$. (Samozrejme, aj $g$ je z istého pohľadu veľmi rozumná voľba - pripomína nám, že tento prvok patrí do $G$.)

Najprv nesprávne riešenie
Napíšem tu nejaký postup, počítam s tým, že by ste mali vedieť povedať, v čom je problém.

Dostávame:
\begin{align*}
f_a(x)
&=a*x*\inv a\\
&=x*a*\inv a\\
&=x*e=x
\end{align*}
Zistili sme, že $f_a(x)=x$ pre ľubovoľné $x\in G$. Teda $f_a=id_G$. Identické zobrazenie je bijekcia.

Vedeli by ste povedať, prečo toto nie je správne riešenie zadanej úlohy?

Spoiler:

V jednom kroku sme použili rovnosť $x*a=a*x$. To môžeme určite urobiť ak by sme mali komutatívnu grupu. Teda je to správny dôkaz tvrdenia, že ak $G$ je komutatívna grupa a $a\in G$, tak $f_a=id_G$.

Našou úlohou je však dokázať bijektívnosť zobrazenia $f_a$ pre ľubovoľnú grupu. To sme zatiaľ neurobili.

Dokonca vidíme, že ak máme $a\in G$ a existuje aspoň jeden prvok z $G$, ktorý s ním nekomutuje, tak $f_a$ nie je identita. Stačí sa presvedčiť, že nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
\begin{align*}
f_a(x)&=x\\
a*x*\inv a&=x\\
a*x&=x*a
\end{align*}

Ak som vás nie celkom presvedčil, že skutočne je v uvedenom postupne nejaký problém, tak tu napíšem ešte o čosi viac.

Spoiler:

Ako som napísal vyššie, akonáhle máme ľubovoľnú dvojicu $a,x\in G$ takú, že $a*x\ne x*a$, tak $f_a(x)\ne x$, a teda $f_a$ nie je identita.

Ak si teda chcete túto vec vyskúšať na nejakom konkrétnom príklade, môžete si zobrať nejaký príklad nekomutatívnej grupy a dvojicu $a,x\in G$, ktoré nekomutujú, a vyskúšať si to pre ne.

Zoberme si teda napríklad $G=S_3$, keďže toto by mohol byť príklad nekomutatívnej grupy, s ktorým ste sa veľmi pravdepodobne stretli. (Ale ešte raz zopakujem, že niečo podobné viete urobiť v každej nekomutatívnej grupe.)
Zoberme si nejaké dva prvky z $G_3$, ktoré nekomutujú, napríklad:
$$a=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\qquad
x=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$

Potom môžete naozaj priamym výpočtom skontrolovať, že $f_a(x)\ne x$, konkrétne platí $f_a(x)=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$.

Tu sú detailné výpočty
\begin{align*}
f_a(x)
&= a\circ x\circ \inv a\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\circ\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\circ\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\circ\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}

Alebo môžeme to isté skúsiť pre
$$a=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\qquad
x=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$
Dostaneme
$f_a(x)=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}$
Výpočet:
\begin{align*}
f_a(x)
&= a\circ x\circ \inv a\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}

Injektívnosť a surjektívnosť
Môžeme skúsiť postupovať presne na základe definície bijektívnosti - t.j. overiť či $f_a$ je injektívne a či $f_a$ je surjektívne.

Ak chceme overiť injektívnosť, tak máme skontrolovať, či z $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ vyplýva $x_1=x_2$.

Spoiler:

Máme takéto rovnosti, kde nasledujúci riadok vždy vyplýva z predošlého:
\begin{align*}
f_a(x_1)&=f_a(x_2)\\
a*x_1*\inv a&=a*x_2*\inv a\\
a*x_1&=a*x_2\\
x_1&=x_2
\end{align*}
Jednotlivé kroky vieme zdôvodniť tak, že sme uvedené rovnosti vynásobili $a$ sprava a $\inv a$ zľava. Alebo sa môžeme odvolať na zákony o krátení v grupe.

Ukázali sme, že naozaj $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ $\implies$ $x_1=x_2$.

Na overenie surjektívnosti by sme mali zistiť, či pre každé $y\in G$ existuje $x\in G$ také, že $f_a(x)=y$.

Spoiler:

Ak máme $f_a(x)=y$, tak
\begin{align*}
f_a(x)&=y\\
a*x*\inv a&=y\\
x*\inv a&=\inv a*y\\
x&=\inv a*y*a\\
\end{align*}
Teraz stačí skontrolovať, že vo všetkých krokoch platí v skutočnosti ekvivalencia medzi uvedenými rovnosťami.
Alebo jednoducho dosadením vyskúšame, že $x=\inv a*y*a$ sa naozaj zobrazí na $y$:
$$f_a(\inv a*y*a)=a*(\inv a*y*a)*\inv a=(a*\inv a)*y*(a*\inv a)=e*y*e=y$$
Naozaj sme teda zistili, že existuje vzor pre $y$.

Ukázali sme, že $f_a$ je injektívne aj surjektívne, teda je bijektívne. $\square$

Poznámka. Viacerí z vás ste sa pri zdôvodnení surjekcie odvolali na jednoznačnosť riešenia rovníc v grupe.
(Chceme $x$ také, že $a*x\inv a=y$. Vieme, že $x'*\inv a=y$ má v grupe riešenie. A $a*x=x'$ má v grupe riešenie. Takto nájdeme hľadané $x$.)
Takéto riešenie je ok. (A je v poriadku použiť takúto vec, keďže táto veta bola na prednáške.)
Dokonca by sme ju mohli použiť aj na zdôvodnenie injektívnosti, keďže vieme, že v grupe majú rovnice takéhoto tvaru jediné riešenie.

Inverzné zobrazenie
Vieme, že nejaké zobrazenie je bijektívne p.v.k. k nemu existuje inverzné. Ak by sme vedeli prísť na to, ako vyzerá inverzné zobrazenie k $f_a$, tak to je iná možnosť ako zdôvodniť, že $f_a$ je bijekcia.

Inverzné zobrazenie k $f_a$ je
$$g(x)=\inv a*x*a.$$
Aby som ukázal, že $g$ je naozaj inverzné k $f_a$, tak by som mal skontrolovať, že $g\circ f_a=id_G$ aj $f_a\circ g=id_G$.
To sú ale pomerne priamočiare výpočty - akonáhle skontrolujem, že to je naozaj tak, ukázal som tým súčasne, že $f_a$ je naozaj bijekcia.

Spoiler:

\begin{align*}
g(f_a(x))
&=g(a*x*\inv a)\\
&=\inv a*(a*x*\inv a)*a\\
&=(\inv a* a)*x*(\inv a*a)\\
&=e*x*e\\
&=x
\end{align*}

V opačnom poradí je to skoro to isté - iba všade vymeníme $a$ a $\inv a$:
$f_a(g(x)) = a*(\inv a*x*a)*\inv a=(a*\inv a)*x*(a*\inv a)=x$.

Asi zaujímavejšia je otázka, ako prísť na to, že $g(x)=\inv a*x*a$ by mohol byť vhodný kandidát na $\inv{f_a}$.
Ak sa napríklad pozriete na výpočty, ktoré sme robili, keď sme v predošlom riešení hľadali vzor k $y$, tak vidíte, že nám tam vyšiel nejaký výraz, ktorý vyzerá takto. (Dostali sme, že $x=g(y)$.)

Inverzné zobrazenie ešte raz

Všimnime si, že inverzné zobrazenie ktoré sme našli, je v skutočnosti zobrazenie $f_{\inv a}$.

Ak sa nám podarí skontrolovať, že platí
\begin{align*}
f_{a*b}&=f_a\circ f_b\\
f_e&=id_G
\end{align*}
tak máme
\begin{gather*}
f_a\circ f_{\inv a} = f_{a*\inv a} = f_e = id_G\\
f_{\inv a}\circ f_a = f_{\inv a*a} = f_e = id_G
\end{gather*}
Ak sme si teda všimli, že pre skladanie takýchto zobrazení platia tieto dve pravidlá, tak overenie, že $\inv{f_a}=f_{\inv a}$ sa dá zapísať veľmi stručne.

Ak nám niekto tieto vlastnosti prezradil, tak nie je ťažké skontrolovať, že naozaj platia.

Spoiler:

\begin{align*}
f_a\circ f_b(x)
&=f_a(b*x*\inv b)\\
&=a*(b*x*\inv b)*\inv a\\
&=(a*b)*x*(\inv b*\inv a)\\
&=(a*b)*x*\inv{(a*b)}\\
\end{align*}

$f_e(x)=e*x*\inv e=e*x*e=x=id_G(x)$

Vnútorné automorfizmy

Napriek tomu, že veci ako homomorfizmy grúp budeme preberať až v budúcom semestri, aspoň ich tu spomeniem. (Keď už sme na takéto zobrazenia narazili, nie je dôvod tajiť, že majú nejaké ďalšie vlastnosti - a prípadne, keď sa budeme na algebre 2 učiť nejaké veci o grupách, tak sa môžete k takýmto zobrazeniam vrátiť.)

Zobrazenie $f_a\colon G\to G$ nie je iba bijekcia, je to aj grupový homomorfizmus. Tým sa myslí ti, že sa rozumne správa vzhľadom na grupovú operáciu.

Homomorfizmy takéhoto špeciálneho tvaru sa volajú vnútorné automorfizmy grupy $G$.

Zobrazenie $a\mapsto f_a$ je homomorfizmus z $G$ do grupy automorfizmov grupy $G$, toto je presne to, čo vyjadruje rovnosť $f_{a*b}=f_a\circ f_b$.

[Martin Sleziak]

Poznámky k odovzdaným riešeniam$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Veľa z vás tvrdilo, že $f_a=id_G$; toto funguje ak $G$ je komutatívna grupa, podrobne som o tom písal vyššie.

Argument na základe počtu prvkov:

Niekde sa vyskytol taký argument, že:
* Ak $f\colon G\to G$ je injekcia, tak už to musí byť bijekcia.
* Ak $f\colon G\to G$ je surjekcia, tak už to musí byť bijekcia.

Ako zdôvodnenie ste uviedli, že sa pozeráme zobrazenie $f$ kde obor aj koobor majú rovnaký počet prvkov. Preto:
a) Ak už vieme, že to je injekcia, tak obrazy rôznych prvkov sú rôzne, dostávame $|G|$ rôznych obrazov, na každý prvok z $G$ sa musí niečo zobraziť. Z čoho vidno, že $f$ je surjekcia.
b) Ak už vieme, že je to surjekcia, tak na každý prvok z $G$ sa niečo zobrazí. Dostali sme teda $|G|$ rôznych obrazov - čo sa nám určite nestane ak by sa niečo opakovalo, t.j ak by sa viac prvkov zobrazilo na to isté. Teda $f$ je určite injekcia.

Toto by naozaj fungovalo, ale iba ak $G$ je konečná množina.
Pre konečnú množinu $G$ a zobrazenie $G\to G$ skutočne z injektívnosti vyplýva surjektívnosť a obrátene.

Ak sa však pozeráme aj na nekonečné množiny, tak takéto veci už nemusia platiť. Môžete sa zamyslieť nad tým, či by ste vedeli vymyslieť nejaké jednoduché kontrapríklady.

Spoiler:

Príklad injekcie, ktorá nie je surjekcia: $f\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$, $f(x)=2x$.
Príklad surjekcie, ktorá nie je injekcia: $f\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$, $f(x)=\lfloor x/2\rfloor$.

Ako overím, či niečo je inverzné zobrazenie

Ako jednu z možností na dôkaz, že zobrazenie je bijekcia som spomenul, že stačí ukázať existenciu inverzného zobrazenia.
Ak tvrdíme, že $g$ je inverzné k $f$, tak by sme mali skontrolovať, že $g\circ f=id$ aj $f\circ g=id$.
(Objavilo sa riešenie, kde bolo len jedno poradie. Aj keď v tomto príklade to asi až tak veľmi nevadí, lebo overenie v druhom poradí je zhruba rovnako ľahké(ťažké.)

Objavilo sa aj riešenie takéhoto typu, kde ste napísali:

$(a\circ g\circ \inv a)\circ x=e$
$$(a\circ g\circ \inv a)\circ (a\circ \inv g \circ \inv a) = a\circ g \circ (\inv a \circ a) \circ \inv g \circ \inv a = \dots = e$$
Inverzné zobrazenie k $f_a$ je dané predpisom $\inv{f_a}(g)=a\circ \inv g \circ \inv a$.

(Neodpisoval som celé odvodenie z písomky.)

Toto nie je správne. (Nie je pravda, že $g\mapsto a\circ \inv g \circ \inv a$ je inverzné zobrazenie k $f_a$.)
Je možné, že vás trochu mohlo popliesť to, že symbol $\circ$ sa tu vyskytuje v dvoch významoch aj ako operácia v grupe $G$ aj ako znak pre skladanie.
Prepíšem to preto radšej tak, že použijem $*$ pre operáciu v grupe.

To čo je tu spravené, je to že sa hľadá prvok $x$ taký, že $(a* g*\inv a)*x=e$; to je presne spôsobom akým by sme našli inverzný prvok k $(a*g*\inv a)$ v grupe $G$.
My chceme niečo iné - chceme inverzné zobrazenie k $x\mapsto a* g*\inv a$. Ako vyzerá toto inverzné zobrazenie som napísal vyššie, keď som písal rôzne možnosti riešenia tejto úlohy.