Sú $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ podpriestory?
Posted: Mon Nov 23, 2020 2:12 pm
Mali sme zadané nejaké množiny $S, T\subseteq \mathbb R^3$ a úlohou bolo zistiť, či tieto množiny, ich prienik a ich zjednotenie sú podpriestory.
Vo všetkých skupinách je $S$ podpriestor a overenie je veľmi jednoduché, podobné veci sme viackrát robili. Takže nebudem k tejto časti písať detailné riešenie. (Navyše zanedlho budeme mať všeobecnejšiu vetu, že pre ľubovoľný homogénny systém lineárnych rovníc je množina riešení podpriestor.)
Napíšem niečo k ostatným častiam.
Najnáročnejšie asi bolo nájsť ako presne vyzerá prienik $S\cap T$; aj keď to je skôr asi precvičenie vecí zo strednej školy než cvičenie na to, čo sme preberali na tomto predmete.
Množiny $T$ aj $S\cup T$ s výnimkou jednej skupiny nie sú podpriestory, tam stačilo nájsť vhodné vektory, aby sme ukázali, že tieto množiny nespĺňajú kritérium vektorového podpriestoru.
Skupina A
Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y+z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x=y^2, z=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
Riešenie. $S$ je podpriestor.
$T$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(4,2,0)\\
\vec a+\vec b&=(5,3,0)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.
Ako vyzerajú vektory, ktoré patria do $S\cap T$. T.j. pýtame sa na množinu riešení sústavy
\begin{align*}
x+y+z&=0\\
x&=y^2\\
z&=0
\end{align*}
Ak dosadíme ostatné rovnice do prvej, tak dostaneme $y^2+y=0$, čo znamená, že $y(y+1)=0$, čiže $y=0$ alebo $y=-1$, a teda
$$S\cap T=\{(1,-1,0),(0,0,0)\}.$$
Ľahko skontrolujeme, že to nie je podpriestor, napríklad $2(1,-1,0)\notin S\cap T$, pričom $(1,-1,0)\in S\cap T$.
Skupina B
Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y-z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2, z=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
Riešenie. $S$ je podpriestor.
$S$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(1,-1,0)\\
\vec a+\vec b&=(2,0,0)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.
Pozrime sa na to, aké vektory patria do prieniku.
Zo rovností $z=0$ a $x+y-z=0$ dostávame $x+y=0$, t.j $x=-y$.
Každý vektor, kde $x=-y$ súčasne spĺňa aj $x^2=y^2$.
Teda vidíme, že
$$S\cap T=\{(x,y,0)\in\mathbb R^3; x+y=0\}=
\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y=0, z=0\}.$$
Pre túto množinu ľahko skontrolujeme, že to je naozaj podpriestor.
Skupina C
Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y+z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2+y^2=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
Riešenie. $S$ je podpriestor.
Pre reálne čísla z $x^2+y^2=0$ vyplýva $x=y=0$. Teda vlastne máme
$$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x=y=0\}=\{(0,0,t); t\in\mathbb R\},$$
a $T$ tiež je podpriestor.
Množina $S\cap T$ je podpriestor - vieme, že prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor. (Tu to dokonca vyjde nulový podpriestor.)
Množina $S\cup T$ nie je podpriestor. (Dokonca sme sa stretli s tým, že zjednotenie dvoch podpriestorov je opäť podpriestor p.v.k. $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$. Ak si dobre pamätám, stihli sme na výberovom cviku dokázať niečo podobné pre podgrupy, ale overenie pre podpriestory by bolo skoro rovnaké.)
Ľahko nájdeme nejaké vektory také, že oba patria do $S\cup T$, ale ich súčet tam už nepatrí. Napríklad
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(0,0,1)\\
\vec a+\vec b&=(1,1,1)
\end{align*}
Skupina D
Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y-z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2=z^2\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
Riešenie. $S$ je podpriestor.
$T$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(-1,-1,0)\\
\vec b&=(1,1,1)\\
\vec a+\vec b&=(0,0,1)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.
Ak sa nám podarí nejako presvedčiť, že $$S\cap T=\{(0,0,0)\},$$ tak vidíme, že prienik je podpriestor.
To sa dá zdôvodniť rôznymi spôsobmi.
Napríklad z rovnice $x-y-z=0$ dostávame $$x=y+z.$$
Súčasne z $y^2=z^2$ dostaneme $y^2-z^2=0$, čo znamená, že
$$x(y-z)=(y+z)(y-z)=0,$$
teda pre každý vektor z prieniku máme $x=0$ alebo $y-z=0$.
Ak $x=0$, tak dostaneme $y^2=z^2=0$, a teda aj $y=z=0$.
Ak $y=z$, tak dostaneme $x=2y$. Z rovnosti $x^2=y^2$ potom máme $4y^2=y^2$. Z toho už dostávame $y^2=0$ a aj $y=0$. A zo $z=y$ a $x=2y$ dostaneme, že aj ostatné súradnice sú nulové.
Vo všetkých skupinách je $S$ podpriestor a overenie je veľmi jednoduché, podobné veci sme viackrát robili. Takže nebudem k tejto časti písať detailné riešenie. (Navyše zanedlho budeme mať všeobecnejšiu vetu, že pre ľubovoľný homogénny systém lineárnych rovníc je množina riešení podpriestor.)
Napíšem niečo k ostatným častiam.
Najnáročnejšie asi bolo nájsť ako presne vyzerá prienik $S\cap T$; aj keď to je skôr asi precvičenie vecí zo strednej školy než cvičenie na to, čo sme preberali na tomto predmete.
Množiny $T$ aj $S\cup T$ s výnimkou jednej skupiny nie sú podpriestory, tam stačilo nájsť vhodné vektory, aby sme ukázali, že tieto množiny nespĺňajú kritérium vektorového podpriestoru.
Skupina A
Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y+z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x=y^2, z=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
Riešenie. $S$ je podpriestor.
$T$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(4,2,0)\\
\vec a+\vec b&=(5,3,0)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.
Ako vyzerajú vektory, ktoré patria do $S\cap T$. T.j. pýtame sa na množinu riešení sústavy
\begin{align*}
x+y+z&=0\\
x&=y^2\\
z&=0
\end{align*}
Ak dosadíme ostatné rovnice do prvej, tak dostaneme $y^2+y=0$, čo znamená, že $y(y+1)=0$, čiže $y=0$ alebo $y=-1$, a teda
$$S\cap T=\{(1,-1,0),(0,0,0)\}.$$
Ľahko skontrolujeme, že to nie je podpriestor, napríklad $2(1,-1,0)\notin S\cap T$, pričom $(1,-1,0)\in S\cap T$.
Skupina B
Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y-z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2, z=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
Riešenie. $S$ je podpriestor.
$S$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(1,-1,0)\\
\vec a+\vec b&=(2,0,0)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.
Pozrime sa na to, aké vektory patria do prieniku.
Zo rovností $z=0$ a $x+y-z=0$ dostávame $x+y=0$, t.j $x=-y$.
Každý vektor, kde $x=-y$ súčasne spĺňa aj $x^2=y^2$.
Teda vidíme, že
$$S\cap T=\{(x,y,0)\in\mathbb R^3; x+y=0\}=
\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y=0, z=0\}.$$
Pre túto množinu ľahko skontrolujeme, že to je naozaj podpriestor.
Skupina C
Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y+z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2+y^2=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
Riešenie. $S$ je podpriestor.
Pre reálne čísla z $x^2+y^2=0$ vyplýva $x=y=0$. Teda vlastne máme
$$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x=y=0\}=\{(0,0,t); t\in\mathbb R\},$$
a $T$ tiež je podpriestor.
Množina $S\cap T$ je podpriestor - vieme, že prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor. (Tu to dokonca vyjde nulový podpriestor.)
Množina $S\cup T$ nie je podpriestor. (Dokonca sme sa stretli s tým, že zjednotenie dvoch podpriestorov je opäť podpriestor p.v.k. $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$. Ak si dobre pamätám, stihli sme na výberovom cviku dokázať niečo podobné pre podgrupy, ale overenie pre podpriestory by bolo skoro rovnaké.)
Ľahko nájdeme nejaké vektory také, že oba patria do $S\cup T$, ale ich súčet tam už nepatrí. Napríklad
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(0,0,1)\\
\vec a+\vec b&=(1,1,1)
\end{align*}
Skupina D
Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y-z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2=z^2\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
Riešenie. $S$ je podpriestor.
$T$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(-1,-1,0)\\
\vec b&=(1,1,1)\\
\vec a+\vec b&=(0,0,1)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.
Ak sa nám podarí nejako presvedčiť, že $$S\cap T=\{(0,0,0)\},$$ tak vidíme, že prienik je podpriestor.
To sa dá zdôvodniť rôznymi spôsobmi.
Napríklad z rovnice $x-y-z=0$ dostávame $$x=y+z.$$
Súčasne z $y^2=z^2$ dostaneme $y^2-z^2=0$, čo znamená, že
$$x(y-z)=(y+z)(y-z)=0,$$
teda pre každý vektor z prieniku máme $x=0$ alebo $y-z=0$.
Ak $x=0$, tak dostaneme $y^2=z^2=0$, a teda aj $y=z=0$.
Ak $y=z$, tak dostaneme $x=2y$. Z rovnosti $x^2=y^2$ potom máme $4y^2=y^2$. Z toho už dostávame $y^2=0$ a aj $y=0$. A zo $z=y$ a $x=2y$ dostaneme, že aj ostatné súradnice sú nulové.