msleziak.com

Úlohu som riešil spolu s Andrejom Ravingerom.

Pre štvorcovú maticu $C$ typu $n\times n$ budeme výraz $Tr(C)=\sum\limits_{k=1}^n c_{kk}$ nazývať stopa matice $C$.

Dôkaz: $Tr(A)=Tr(A^T)$

$A$ = $||a_{ij}||$
$A^T$ = $||a_{ji}||$
Ak i = j, tak $a_{ij} = a_{ji}$ a preto aj $Tr(A)=Tr(A^T)$

Dôkaz: $Tr(AB)=Tr(BA)$

C=AB, D=BA
$Tr(C) = \sum\limits_{i=1}^n c_{ii}
= \sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{t=1}^n a_{it}b_{ti})
= \sum\limits_{t=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n a_{ti}b_{it})
*= \sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{t=1}^n a_{ti}b_{it})
= \sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{t=1}^n b_{it}a_{ti})
= \sum\limits_{i=1}^n d_{ii}
= Tr(D)$

$$*\sum\limits_{t=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n a_{ti}b_{it})=$$
$$\sum\limits_{t=1}^n (a_{t1}b_{1t}+a_{t2}b_{2t}+...+a_{tn}b_{nt})=$$
$$a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+...+a_{1n}b_{n1}+$$
$$a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+...+a_{2n}b_{n2}+$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$a_{n1}b_{1n}+a_{n2}b_{2n}+...+a_{nn}b_{nn}=$$
$$a_{11}b_{11}+a_{21}b_{12}+...+a_{n1}b_{1n}+$$
$$a_{12}b_{21}+a_{22}b_{22}+...+a_{n2}b_{2n}+$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$a_{1n}b_{n1}+a_{2n}b_{n2}+...+a_{nn}b_{nn}=$$
$$\sum\limits_{i=1}^n (a_{1i}b_{i1}+a_{2i}b_{i2}+...+a_{ni}b_{in})=$$
$$\sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{t=1}^n a_{ti}b_{it})$$

$Tr(ABC) = Tr(ACB)$ neplatí vo všeobecnosti, lebo existuje protipríklad.
symetrická matica
$A=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
B =
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
C =
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 1
\end{pmatrix},
BC =
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
2 & 1
\end{pmatrix},
CB =
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 3
\end{pmatrix},
ABC =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix},
ACB =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
2 & 3
\end{pmatrix}$
$Tr(ABC) = 1, Tr(ACB) = 3$

$Tr(ABC) = Tr(CBA)$ neplatí vo všeobecnosti, lebo existuje protipríklad.
$CBA =
\begin{pmatrix}
0 & 4 \\
0 & 3
\end{pmatrix}$
$Tr(ABC) = 1, Tr(CBA) = 3$

Riešenie je ok - značím si pre oboch po 0.5 bode za túto úlohu.
Tu sú linky na nejaké staršie riešenia tej istej úlohy: viewtopic.php?t=1181 a viewtopic.php?t=831

K dôkazu o rovnosti stôp AB a BA poznamenám, že tam vlastne ide iba o zmenu poradia sčitovania.

Nejaké poznámky k TeX-u

Existuje aj príkaz \vdots, ktorý vyzerá ako $\vdots$.

Napríklad
\begin{align*}
*=&\sum\limits_{t=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n a_{ti}b_{it})=\\
=&\sum\limits_{t=1}^n (a_{t1}b_{1t}+a_{t2}b_{2t}+...+a_{tn}b_{nt})=\\
=&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+...+a_{1n}b_{n1}+\\
=&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+...+a_{2n}b_{n2}+\\
&\vdots\\
=&a_{n1}b_{1n}+a_{n2}b_{2n}+...+a_{nn}b_{nn}=\\
=&a_{11}b_{11}+a_{21}b_{12}+...+a_{n1}b_{1n}+\\
=&a_{12}b_{21}+a_{22}b_{22}+...+a_{n2}b_{2n}+\\
&\vdots\\
=&a_{1n}b_{n1}+a_{2n}b_{n2}+...+a_{nn}b_{nn}=\\
=&\sum\limits_{i=1}^n (a_{1i}b_{i1}+a_{2i}b_{i2}+...+a_{ni}b_{in})=\\
=&\sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{t=1}^n a_{ti}b_{it})
\end{align*} Ak chcem vyznačiť niektorú rovnosť, na ktorú sa odvolávam, tak môžem použiť \overset, napríklad: $\sum\limits_{t=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n a_{ti}b_{it})\overset{(*)}=\sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{t=1}^n a_{ti}b_{it})$

Ďakujem za rady.