Keďže sme minule skonštatovali, že do januára asi stihneme zabudnúť teóriu, ktorú sme počuli na poslednom seminári, tak som si povedal, že sem napíšem aspoň tie cvičenia, na ktoré som sa stihol pozrieť a ktoré viem spraviť.
*******
Exercise 11.1. If $G$ is a non-abelian group of order 6, find the dimensions of all the irreducible $\mathbb{C}G$-modules.
Máme dve možné vyjadrenia čísla 6 ako súčtu štvorcov:
$6=1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2$
$6=1^2+1^2+2^2$
Toto obmedzenie nám teda dáva len 1 a 2 ako možnosti ireducibilných modulov.
Proposition 9.18 hovorí, že ak majú všetky ireducibilné $\mathbb{C}G$-moduly dimenziu 1, tak $G$ je komutatívna grupa.
Pre nekomutatívne grupy teda zostáva druhá možnosť, že úplný systém neizomorfných ireducibilných $\mathbb{C}G$-modulov pozostáva z dvoch jednorozmerných a jedného dvojrozmerného modulu. V príklade 10.8(2) sme videli, že táto možnosť nastane pre grupu $D_6$.
Exercise 11.1
Moderator: Martin Sleziak