Inverzná matica

[Martin Sleziak]

Úlohou bolo nájsť inverznú maticu nad $\mathbb Z_5$ k matici:
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 3 & 0 \\
1 & 3 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}$$

Výsledok je:
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
3 & 2 & 2 & 3 \\
4 & 1 & 3 & 4 \\
2 & 0 & 4 & 2 \\
1 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)$$

Na tento typ úlohy sme sa naučili nejaký štandardný postup.

Pripomeniem, že pri tomto type úlohy vieme rátať skúšku správnosti dokonca aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531
Ak vám vyšiel nesprávny výsledok, urobením skúšky by ste na to prišli.

Spoiler:

$
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
4 & 1 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
4 & 1 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
3 & 2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 1 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$