msleziak.com

Sem budem priebežne písať, čo sme stihli na jednotlivých prednáškach. Občas pridám aj nejaké linky na veci týkajúce sa toho, čo sme práve prebrali.

Toto vlákno by som chcel rezervovať naozaj iba na to, že tu budem písať obsah prednášok. Keď budete chcieť na fórum napísať nejakú vec k nejakej konkrétnej veci, ktorá bola na prednáške, založte na to nový topic.

Ak sa chcete pozrieť na to, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=1144
viewtopic.php?t=1026
viewtopic.php?t=594

1. prednáška (17.2.):
Snažil som sa aspoň trochu na začiatku povedať niečo o tom, na aké veci sa Zornova lema a transfinitná indukcia dajú použiť. Ako príklad som použil Cauchyho funkcionálnu rovnicu.

Trochu som si pomáhal analógiou s tým, ako to funguje, keď sa človek začína učiť používať matematickú indukciu ako dôkazovú metódu. Keďže som medziiným spomenul Cauchyho indukciu, tak pridám linku na iný topic na fóre, kde sa takýto typ indukcie spomína: viewtopic.php?t=1642

Dám sem ešte linky na dva články z blogu Tima Gowersa, ktoré sa týkajú zhruba toho, kedy sa dá použiť Zornova lema (a je tam niečo aj o transfinitnej indukcii).

• How to use Zorn's Lemma: blog, tricki
• Just-do-it proofs: blog, tricki

K tomu, že som si ako úvodný príklad vybral práve Cauchyho rovnicu, ma inšpiroval práve tento blog.

2. prednáška (24.2.):
Dobre usporiadané množiny. Definícia dobre usporiadanej množiny a to, že na nich funguje indukcia.
V dobre usporiadanej množine pre každý prvok (s výnimkou najväčšieho) existuje nasledovník. Nemusí ale existovať predchodca.
Ukázali sme si pár príkladov dobre usporiadaných množín. Videli sme, že lexikografický súčin DUM je opäť DUM.
Ekvivalenty axiómy výberu. Prešli viacero podmienok, o ktorých je jednoduché ukázať, že sú ekvivalentné s axiómou výberu. (Dokázali sme existenciu selektora, ostatné sme len spomenuli.)
V texte na stránke sme vlastne prešli podkapitolu 4.1 a časť podkapitoly 4.2.

3. prednáška (3.3.):
Ekvivalenty axiómy výberu.
Pozreli sme sa na to, že AC je ekvivalentná s existenciou jednostranného inverzu k surjekcii.
Potom sme sformulovali viacero ďalších ekvivalentných tvrdení, ktoré sú tiež ekvivalentné s axiómou výberu, ale tu už budú dôkazy náročnejšie. Konkrétne sú to princíp dobrého usporiadania, Zornova lema a princíp maximality. (Princípom maximality sa však nebudeme veľmi zaoberať.)
Zaoberali sme sa trochu tým, ako je to s AC, WO, ZL pre prázdnu množinu. (Poučenie, ktoré si treba odniesť: Pri používaní Zornovej lemy si treba dať pozor aj na to, či je neprázdna. Inými slovami, či aj prázdny reťazec má horné ohraničenie.)
Ukázali sme, že z WO vyplýva AC. (To bol vcelku ľahký dôkaz.)
Potom sme ukázali, že zo ZL vyplýva AC. (Čo bola vlastne prvá ukážka typického dôkazu pomocou Zornovej lemy, na ktorú sme narazili na tejto prednáške.)
Ukázali sme, že ZL $\Rightarrow$ WO. (Dôkaz, že z axiómy výberu vyplýva Zornova lema urobíme, keď budeme mať k dispozícii ordinály a transfinitnú indukciu.)

4. prednáška (10.3.):
Dokázali sme Hahn-Banachovu vetu.

Viaceré ďalšie výsledky, ktoré sa dajú dokazovať pomocou Zornovej lemy, sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=620

Ako ukážku použitia ZL zvyknem robiť aj Alexandrovu vetu o subbáze. (Pomocou nej sa dá dokázať Tichonovova veta.) Tento dôkaz ste však videli na predmete Všeobecná topológia, tu sme ho teda preskočili.

5. prednáška (17.3.):
Existencia nemerateľnej množiny. (Vitaliho konštrukcia.)
V súvislosti s existenciou nemerateľných množín je azda vcelku zaujímavý aj Banach-Tarského paradox.

Spojitosť a sekvenciálna spojitosť: viewtopic.php?t=1656
T.j. ukázali sme si, kde sa v dôkaze využíva AC a tiež sme si ukázali, ako že pre globálnu spojitosť vieme túto ekvivalenciu dokázaťť aj bez použitia axiómy výberu.

6. prednáška (24.3.):
Vrátili sme sa k dobre usporiadaným množinám. Ukázali sme, že pre monotónne injektívne zobrazenie $f\colon X\to X$ platí $x\le f(x)$ a z toho nejaké dôsledky o jednoznačnosti izomorfizmov. Nakoniec sme sa dostali k základnej vete o dobre usporiadaných množinách: Pre ľubovoľné dve d.u.m. platí, že niektorá z nich je izomorfná s počiatočným úsekom druhej. (V podstate sme spravili časť 5.1 z apliktm.pdf. Keďže sa často odvolávam na tento text, tak spomeniem, že celá kapitola o ordinálnych číslach by si zaslúžila poriadnejšie prepísať a zreorganizovať a veľa vecí tam zatiaľ úplne chýba. Ale potiaľto sa asi vcelku dá čítať, akurát s tým, že dôkaz vety 5.1.5 tam napísaný nie je.)

7. prednáška (31.3.):
Povedali sme si tiež, ako pomocou základnej vety o dobre usporiadaných množinách a WO dostaneme porovnateľnosť kardinalít pre ľubovoľné dve množiny. (T.j. vždy platí $|A|\le|B|$ alebo $|B|\le|A|$.) To isté sa dá dokázať nie moc ťažko aj pomocou ZL. (Je to jedno z cvičení v texte a súčasne jedna z domácich úloh, ktoré sa dajú odovzdávať.)
Ordinálne čísla. Naivný prístup k ordinálnym číslam. (Povedali sme si niečo o tom, že je to podobný prístup, akým sme v prvom ročníku definovali kardinálne čísla.) Definícia porovnávania ordinálnych čísel.
Každý ordinál má nasledovníka. Ak máme množinu dobre usporiadaných množín, tak existuje d.u.m., do ktorej sa všetky dajú vnoriť ako počiatočné úseky. (Z toho dostaneme, že pre každú množinu ordinálov existuje suprémum.) Konštrukcia, ktorú sme urobili, je špeciálny prípad induktívnej limity.

8. prednáška (7.4.)
Ordinálne čísla.
Máme izomorfizmus medzi dobre usporiadanou množinou $(A,\le)$ a $(\{A_a; a\in A\}, \subseteq)$. (Spomenuli sme, ako to súvisí s reprezentáciou čiastočne usporiadaných množín.)
Veci, ktoré sme zatiaľ ukázali o DUM sa dajú použiť na to, aby sme videli, že:
* Každá množina ordinálov je dobre usporiadaná.
* Ordinál $\alpha$ je ordinálny typ množiny $\{\beta\in\mathrm{Ord}; \beta<\alpha\}$.
* Každý ordinál je nasledovník alebo limitný (t.j. suprémum všetkých ordinálov od neho menších).

My sme robili iba naivný (neaxiomatický) prístup k ordinálnym číslam. V ZFC by sme mohli použiť von Neumannovu definíciu ordinálnych čísel, pri ktorej platí priamo rovnosť $\alpha=\{\beta\in\mathrm{Ord}; \beta<\alpha\}$; t.j. každý ordinál sa rovná množine ordinálnych čísel od neho menších.

Pre ľubovoľnú dobre usporiadanú množinu $(A,\le)$ máme dobré usporiadanie $\le^*$ také, že počiatočné úseky majú kardinalitu menšiu ako množina $A$. Kardinálne čísla môžeme definovať ako iniciálne ordinály. (T.j. najmenší ordinál s danou kardinalitou. Inak povedané, sú to ordinálne typy takých DUM, kde pre počiatočné úseky neexistuje bijekcia s celou množinou.)

Transfinitná indukcia. Veta o transfinitnej indukcii. Veta o transfinitnej rekurzii.
Ukázali sme existenciu podmnožiny v $\mathbb R\times\mathbb R$, kde zvislé rezy sú jednoprvkové a vodorovné rezy sú husté. (Nabudúce sa ešte vrátime k tomu, čo vieme povedať o funkcii, ktorej graf je takáto množina.)

9. prednáška (14.4.)
Silno darbouxovské funkcie.
Povedali sme si niečo o darbouxovských a silno darbouxovských funkciách: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1678
Podmnožina $\mathbb R^2$, ktorej existenciu sme dokázali minule, nám dáva graf silno darbouxovskej funkcie.
Steinitzova veta.
Dokázali sme Steinitzovu vetu - každé pole má algebraicky uzavreté nadpole. (Krok, v ktorom bolo treba polia zostrojené transfinitnou indukciou "zjednotiť", pričom sme ich nemali na tej istej množine ale mali sme k dispozícii vloženia, sme nerobili detailne. Urobí sa to pomocou induktívnej limity, takúto konštrukciu sme na tomto predmete už raz videli.)
Zornova lema
Urobili sme dôkaz pomocou transfinitnej indukcie.
A aj dôkaz, ktorý sa vyhol transfinitnej indukcii - zobrali sme dôkaz z článku Jonathan Lewin: A Simple Proof of Zorn's Lemma, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 4 (Apr., 1991), pp. 353-354. https://scholar.google.com/scholar?clus ... 4167685037 https://doi.org/10.1080/00029890.1991.12000768
(Videli sme, že tento dôkaz sa v istom zmysle podobá na dôkaz transfinitnou indukciou, nepotrebovali sme sa však v ňom nijako odvolávať na vetu o transfinitnej indukcii. Dôkaz využíva dobré usporiadania )