Determinant je multilineárna funkcia

Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko

Post Reply
Martin Sleziak
Posts: 5816
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Determinant je multilineárna funkcia

Post by Martin Sleziak »

Keďže dnes sa to v nejakej súvislosti vyskytlo, tak spomeniem dôkaz takéhoto tvrdenia a aj poviem niečo okolo toho. (Berte to ako niečo navyše - hlavné sú tie veci, ktoré boli na prednáške.)

V podstate to čo ideme urobiť je, že na determinant sa budeme pozerať ako na funkciu jeho riadkov, t.j. na vstupe dostaneme nejakých n vektorov z V=Fn, t.j ak máme vektory a1,a2,,an, tak sa budeme pozerať na funkciu D:VnF
D(a1,a2,,an)=det(a1a2an),
ktorá n-tici vektorov priradí determinant matice, ktorej riadky sú tvorené týmito vektormi.

To, čo si chceme rozmyslieť, je že ak zafixujeme n1 vektorov a meníme len jeden zostávajúci riadok, tak dostaneme lineárnu funkciu VF.

Tvrdenie. Majme vektory a1,,ai1,ai+1,,anFn. Potom pre ľubovoľné cF a ľubovoľné x,yFn platí:
D(a1,,ai1,cx,ai+1,,an)=cD(a1,,ai1,x,ai+1,,an)D(a1,,ai1,x+y,ai+1,,an)=D(a1,,ai1,x,ai+1,,an)+D(a1,,ai1,y,ai+1,,an)

Prvá z uvedených vlastností je len ináč zapísané tvrdenie o tom, ako sa zmení determinant ak i-ty riadok vynásobíme konštantou c. Dôkaz tohoto tvrdenia ste videli na prednáške.

Druhú časť nie je ťažké dokázať priamo z definície - ak ste si už pozerali nejaké dôkazy takého typu ako boli na prednáške, tak odporúčam vyskúšať si to.
Spoiler:
D(a1,,ai1,x+y,ai+1,,an)=φSn(1)s(φ)a1,φ(1)ai1,φ(i1)(x+y)ai+1,φ(i+1)an,φ(n)=φSn((1)s(φ)a1,φ(1)ai1,φ(i1)xai+1,φ(i+1)an,φ(n)+(1)s(φ)a1,φ(1)ai1,φ(i1)yai+1,φ(i+1)an,φ(n))=φSn(1)s(φ)a1,φ(1)ai1,φ(i1)xai+1,φ(i+1)an,φ(n)+φSn(1)s(φ)a1,φ(1)ai1,φ(i1)yai+1,φ(i+1)an,φ(n)=D(a1,,ai1,x,ai+1,,an)+D(a1,,ai1,y,ai+1,,an)
EDIT: Teraz vidím, že toto bolo aj na prednáške. (Aj keď dôkaz bol preskočený - s tým, že si to máte rozmyslieť sami cez Laplaceov rozvoj. Vyššie je dôkaz na základe definície - cez permutácie. Ale medzi týmito dvoma dôkazmi nie je až taký veľký rozdiel.)

Terminológia. Ukázali sme, že keď sa pozeráme na jednu konkrétnu premennú, tak dostanem lineárne zobrazenie. Pretože to platí pre každú premennú, tak o zobrazení D hovoríme, že je multilineárne.

Okrem toho o zobrazení D(a1,a2,,an) vieme z prednášky, že ak vymeníme dva parametre, tak sa zmení znamienko. Takéto zobrazenie voláme alternujúce zobrazenie.

Wikipédia:
Martin Sleziak
Posts: 5816
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Re: Determinant je multilineárna funkcia

Post by Martin Sleziak »

Aplikácie. Vlastne sme ukázali, že platí
det(a1ai1x+yai+1an)=det(a1ai1xai+1an)+det(a1ai1yai+1an).
Pretože det(AT)=det(A), podobné tvrdenie platí pre stĺpce.

Túto vlastnosť vieme niekedy použiť pri výpočte determinantu a občas aj pri niektorých dôkazoch.

Súčet determinantov. Napríklad na dnešnom cvičení sa vyskytol takýto determinant:
|2200121211210111|.
Dalo by sa pri jeho výpočte nejako využiť uvedené tvrdenie?
Spoiler:
Laplaceov rozvoj dáva
|2200121211210111|=2|212121111|2|112121011|=
Čo by sa dalo urobiť ďalej?
Spoiler:
|2200121211210111|=2|212121111|2|112121011|==2(|212121111|+|112121011|)=()=2|112221111|=2|112221001|=2|1122|(2)(4)=8


Na mieste označenom () sme využili spomínané tvrdenie pre stĺpce. Trochu sme ušetrili v tom, že namiesto dvoch determinantov 3×3 stačilo vypočítať jeden.
Opakovaný riadok a výmena riadkov.
Predpokladajme, že už máme dokázanú vlastnosť, že ak máme dvakrát ten istý riadok, tak determinant je nulový.
Ako sa dá pomocou uvedeného tvrdenia upraviť determinant
det(a1ai+ajaj+aian),
t.j. determinant matice, ktorá má v~i-tom aj riadku súčet ai+aj a v ostatných riadkoch sú prvky ako v matici A?
Dalo by sa to použiť na dôkaz tvrdenia, že výmena riadkov mení znamienko?
Spoiler:
det(a1ai+ajaj+aian)=det(a1aiaj+aian)+det(a1ajaj+aian)=det(a1aiajan)+det(a1aiaian)+det(a1ajajan)+det(a1ajaian)=det(a1aiajan)+det(a1ajaian)
Dostávame teda, že det(a1aiajan)+det(a1ajaian)=0 a
det(a1aiajan)=det(a1ajaian).
Pripočítanie násobku riadku. Vedeli by sme nejako podobne odvodiť tvrdenie o tom, že pripočítanie násobku niektorého riadku k inému nemení determinant?
Spoiler:
det(a1ai+cajajan)=det(a1aiajan)+det(a1cajajan)=det(a1aiajan)+cdet(a1ajajan)=det(a1aiajan)
Martin Sleziak
Posts: 5816
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Re: Determinant je multilineárna funkcia

Post by Martin Sleziak »

Jednoznačnosť determinantu. Vrátim sa znovu k označeniu D(a1,a2,,an).

Vieme, že determinant má tieto tri vlastnosti:
  • D(e1,e2,,en)=1
  • D je multilineárna a alternujúca funkcia
Dá sa dokázať, že týmito vlastnosťami je funkcia D už jednoznačne určená.
Toto je presne vec, ktorá je v jednej sade prednáškových úloh ako bonusová úloha.
Opäť pridám aj linku na Wikipédiu: Leibniz formula for determinants.
A aj nejaké linky na Mathematics Stack Exchange: The determinant function is the only one satisfying the conditions a Uniqueness of determinant.


Čiže v princípe by sme aj toto mohli brať ako definíciu determinantu - samozrejme, potom by sme ale vyjadrenie pomocou súčtu cez všetky permutácie potrebovali nejako odvodiť (ak by sme ho chceli používať). Takisto aj Laplaceov rozvoj.

Rozprávali sme sa trochu o tom, že determinant je niečo ako plocha/objem, len navyše treba nejaké znamienko.
Takáto definícia determinantu by aspoň trochu mohla zodpovedať intuícii o tom, že determinant má byť oznamienkovaný objem.

Podmienka D(e1,e2,,en)=1 vlastne hovorí že jednotková kocka má mať objem 1.

O tom, prečo by mala platiť multilineárnosť sme sa aspoň pre n=2 a n=3 trochu rozprávali na dnešnom cvičení. Tiež sme videli, že niekedy potrebujeme aj záporné znamienko - aj keď rozmyslieť si presne pre aké preusporiadanie vektorov sa znamienko má zmeniť na opačné by si vyžiadalo ešte nejakú prácu navyše.

Teda takáto definícia determinantu by bola o čosi geometrickejšia - viac by zodpovedala tomu, že ide o oznamienkovaný objem (zovšeobecnený na n-rozmerný priestor). Ale na druhej strane by nás stálo pomerne veľa námahy, ak by sme z tejto definície chceli odvodiť vyjadrenie cez permutácie (Leibnizov vzorec) a potom napríklad aj Laplaceov rozvoj.
Post Reply