V podstate to čo ideme urobiť je, že na determinant sa budeme pozerať ako na funkciu jeho riadkov, t.j. na vstupe dostaneme nejakých n vektorov z V=Fn, t.j ak máme vektory →a1,→a2,…,→an, tak sa budeme pozerať na funkciu D:Vn→F
D(→a1,→a2,…,→an)=det(→a1→a2…→an),
ktorá n-tici vektorov priradí determinant matice, ktorej riadky sú tvorené týmito vektormi.
To, čo si chceme rozmyslieť, je že ak zafixujeme n−1 vektorov a meníme len jeden zostávajúci riadok, tak dostaneme lineárnu funkciu V→F.
Tvrdenie. Majme vektory →a1,…,→ai−1,→ai+1,…,→an∈Fn. Potom pre ľubovoľné c∈F a ľubovoľné →x,→y∈Fn platí:
D(→a1,…,→ai−1,c⋅→x,→ai+1,…,→an)=c⋅D(→a1,…,→ai−1,→x,→ai+1,…,→an)D(→a1,…,→ai−1,→x+→y,→ai+1,…,→an)=D(→a1,…,→ai−1,→x,→ai+1,…,→an)+D(→a1,…,→ai−1,→y,→ai+1,…,→an)
Prvá z uvedených vlastností je len ináč zapísané tvrdenie o tom, ako sa zmení determinant ak i-ty riadok vynásobíme konštantou c. Dôkaz tohoto tvrdenia ste videli na prednáške.
Druhú časť nie je ťažké dokázať priamo z definície - ak ste si už pozerali nejaké dôkazy takého typu ako boli na prednáške, tak odporúčam vyskúšať si to.
Spoiler:
Terminológia. Ukázali sme, že keď sa pozeráme na jednu konkrétnu premennú, tak dostanem lineárne zobrazenie. Pretože to platí pre každú premennú, tak o zobrazení D hovoríme, že je multilineárne.
Okrem toho o zobrazení D(→a1,→a2,…,→an) vieme z prednášky, že ak vymeníme dva parametre, tak sa zmení znamienko. Takéto zobrazenie voláme alternujúce zobrazenie.
Wikipédia: