Stručný sumár prednášok z LAG2

[Martin Sleziak]

Toto vlákno má podobný cieľ ako v ZS: viewtopic.php?t=1602
Budem sa snažiť tu veci pridávať, ak budem stíhať.

Aby sme ju mali poruke, tu je linka na playlist: https://www.youtube.com/playlist?list=P ... bjs2ZWrmBh

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Determinanty | prvá prednáška
https://www.youtube.com/watch?v=HDTawP6Ote0

2:05 Pripomenutie: Vzťah systémov lineárnych rovníc, matíc a lineárnych zobrazení.
15:00 Pripomenutie: Vzťah medzi nehomogénnym a homogénnym systémom.
16:30 Pripomenutie: Frobeniova veta
20:00 Čo chceme robiť teraz: determinanty nám dajú inú možnosť ako povedať niečo o riešiteľnosti systémov.
20:55 Neskôr sa dostaneme k afinným priestorom, ktoré súvisia s množinou riešení nehomogénneho systému.

Determinanty
23:35 Determinanty
24:00 Motivácia
29:40 Príprava - permutácie
30:40 Definícia permutácie
32:30 Označenie pre permutácie
35:30 $(S_n,\circ)$ je grupa
38:00 Definícia 9.10: inverzia permutácie, počet inverzií označíme $s(\varphi)$
42:33 Párne a nepárne permutácie
46:30 Lema 9.11: Skladanie a počet inverzií (t.j. čo je zloženie párnych/nepárnych permutácií). Počet inverzií inverznej permutácie.
51:30 Dôkaz lemy 9.11.
1:02:54 Teraz nasleduje definícia determinantu
1:03:25 Myšlienka determinantov ("neformálna definícia")
1:16:53 Príklad pre maticu $3\times3$
1:21:20 Definícia 9.12 (definícia determinantu) (WP: Leibniz formula for determinants)
1:30:20 Pre maticu $1\times1$
1:31:12 Pre maticu $2\times2$
1:32:50 Pre maticu $3\times3$ - Sarrusovo pravidlo
1:38:05 Geometrický význam determinantu - pre $2\times2$ je to plocha rovnobežníka (vynásobený $\pm1$)
1:43:35 Geometrický význam determinantu - pre $3\times3$ je to objem rovnobežnostena (vynásobený $\pm1$)
1:44:45 Determinanty majú aplikácie v analýze viac premenných.
Linky na niektoré aplikácie determinantov (aj v analýze) sú pozbierané tu: viewtopic.php?t=1625
1:45:10 Pre $2\times2$ platí $\det(A)\ne0$ $\Leftrightarrow$ $h(A)=2$
1:51:30 Plán nabudúce: Naučíme sa vlastnosti determinantu a uvidíme ako ich počítať pre väčšie rozmery

Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak pripomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Je z kanálu 3Blue1Brown, ktorý som kedysi spomínal tu: viewtopic.php?t=1476
Niečo o geometrickom význame determinantu je napísané aj tu: viewtopic.php?t=555 a viewtopic.php?t=1621



Lineárna algebra a geometria (2) - Determinanty a ich vlastnosti | prednáška 02
https://www.youtube.com/watch?v=moZR3qMOo10

0:15 Plán na ďalšie prednášky: dokážeme viacero vlastností determinantov, ktoré nám ich umožnia počítať a budú užitočné pre aplikácie.
2:21 Zopakovanie definície a výpočtu determinantov $2\times2$ a $3\times3$
5:45 Označenie $\prod_{i=1}^n a_{i,\varphi(i)}$
9:15 Vlastnosti determinantu
10:05 Vlastnosť 1 - determinant transponovanej matice: $\det(A^T)=\det(A)$
24:45 Vlastnosť 2 - výmena riadkov mení znamienko
42:15 Definícia 9.13: algebraický doplnok
47:40 Vlastnosť 3: $A_{rs}=(-1)^{r+s}\det(M_{rs})$
1:07:32 Vlastnosť 4: Laplaceov rozvoj
1:15:54 Zhrnutie tejto prednášky
1:17:39 Plán nabudúce: budeme dokazovať ďalšie vlastnosti

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Ďalšie vlastnosti determinantov | prednáška 03
https://www.youtube.com/watch?v=g_F_mJRJLJE
0:55 Pripomenutie definície determinantu
6:10 Zopakovanie vlastností dokázaných minule
13:45 Vlastnosť 5: Ak sú dva riadky rovnaké, tak determinant je nulový.
22:00 Chceme sa pozrieť na ďalšie ERO
22:12 Vlastnosť 6: Pripočítanie násobku riadku k inému nemení determinant.
35:50 Vlastnosť 7: Vynásobeni riadku konštantou
40:45 Vlastnosť 8: Determinant matice, kde ostatné riadky sú rovnaké a jeden je súčtom.
Toto je to čo som robil tu: viewtopic.php?t=1643 (Keďže som si myslel, že ste to nemali na prednáške.)
43:50 Poznámka: Vo všeobecnosti $\det(A+B)$ nemusí byť to isté ako $\det(A)$ a $\det(B)$
46:25 Vlastnosť 9: Ak $A$ má nulový riadok, tak $\det(A)=0$.
47:10 Vlastnosť 10: Determinant hornej trojuholníkovej matice je súčin prvkov na diagonále.
53:50 Dôsledok: Ak $A$ a $B$ sä riadkovo ekvivalentné, tak $\det(B)=\alpha\det(A)$ pre nejaké $\alpha\ne0$. (ERO nemôžu ovplyvniť, či determinant je nenulový resp. nulový.)
56:50 Veta 9.14: $h(A)=n$ $\Leftrightarrow$ $\det(A)\ne0$
1:01:55 Počítať determinant z definície je výpočtovo náročné. Teraz máme aj iné možnosti výpočtu.
1:04:40 Vlastnosť 11: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$
1:08:05 Plán nabudúce: Dôkaz vlastnosti 11


Lineárna algebra a geometria (2) - Ďalšie vlastnosti determinantov | prednáška 04
https://www.youtube.com/watch?v=dVHWhTrRsHI
0:08 Zopakovanie vecí, ktoré vieme o determinantoch
7:40 Dôkaz, že $\det(AB)=\det(A)\det(B)$
8:00 Prvá časť dôkazu - ak niektorá z tých matíc je singulárna.
15:40 Druhá časť dôkazu - ak sú obe matice regulárne.
17:50 Plán - chceli by sme to previesť na prípad, keď násobíme horné trojuholníkové matice.
22:35 Dôkaz
V rámci tohoto dôkazu ste sa pozerali na súčin dvoch horných trojuholníkových matíc: viewtopic.php?t=1006
45:00 Plán ďalej - chceme sa pozrieť na aplikácie determinantov.
45:40 Čo hovorí nenulový determinant o jednoznačnosti riešenia sústavy $n$ rovníc s $n$ neznámymi.
47:40 Vyjadrenie inverznej pomocou determinantov - cez adjungovanú maticu.
1:01:30 Príklad výpočtu inverznej pre maticu $2\times2$.
1:04:40 Z tohoto vidno, že ak máme zadanú maticu s celými číslami, tak v menovateli vyjde determinant. (Bez zlomkov to teda vyjde ak determinant je $\pm1$, to sú tzv. unimodulárne matice.)
1:08:00 Veta 9.16: Cramerovo pravidlo
1:13:30 Dôkaz Cramerovho pravidla cez Laplaceov rozvoj.
Iný dôkaz Cramerovho pravidla je tu: viewtopic.php?t=1497
1:22:20 Príklad použitia Cramerovho pravidla na riešenie sústavy.
1:32:25 Chceme sa vrátiť k Fredholmovej alternatíve
1:33:20 Fredholmova alternatíva pre systémy $n\times n$
1:38:30 Zhrnutie toho, čo sme mali o determinantoch.
1:39:50 Plán na ďalšie prednášky: Euklidovské vektorové priestory (uhly, kolmosť, vzdialenosť)
1:41:00 Neskôr: Znovu sa pozrieme na množiny riešení nehomogénnych systémov (v podobe afinných priestorov)
1:43:35 Ďalšie téma bude vyjadrenie lineárneho zobrazenia v inej báze ako štandardnej. To nás dovedie k podobnosti matíc a Jordanovmu normálnemu tvaru.
1:45:35 Ďalšia téma: Symetrické bilineárne formy a kvadratické formy.
1:46:45 Nabudúce: Euklidovské vektorové priestory a skalárny súčin

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Euklidovské vektorové priestory, skalárny súčin | prednáška 05
https://www.youtube.com/watch?v=w81K9f7Vpm8
Euklidovské vektorové priestory
1:00 Motivácia - uhol, kolmosť, dĺžka
9:40 Chcem definíciu skalárneho súčinu, ktorá bude všeobecnejšia.
11:05 Definícia 10.1 - skalárny súčin $\langle \vec x,\vec y\rangle$
17:05 Je to naozaj zovšeobecnenie obvyklého skalárneho súčinu, ale budeme vidieť aj iné zobrazenie vyhovujúce tejto definícii.
18:45 Takto sme to definovali pre ľubovoľný vektorový priestor nad $\mathbb R$ (aj nekonečnorozmerný).
21:00 Definícia 10.1 - euklidovský vektorový priestor
23:00 Skalárny súčin je bilineárne a symetrické zobrazenie, ktoré je navyše nedegenerované (a kladne definitné).
27:00 Príklad - štandardný skalárny súčin. Wikipédia: dot product
32:00 Iný skalárny súčin: $\langle \vec x,\vec y\rangle=\sum_{i=1}^n a_ix_iy_i$ pre $a_i>0$
34:30 Ukážeme si aj príklad na nekonečnorozmernom priestore.
34:55 $C[0,1]$ so skalárnym súčinom $\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(t) g(t) \;\mathrm{d}t$
38:10 Integrál = plocha pod krivkovu
39:55 Tento skalárny súčin súvisí s ortonormálnou bázou určenou funkciami $\cos n\pi t$, $\sin n\pi t$ a s Fourierovou analýzou (Fourierovými radmi), o ktorých sa budete učiť na analýze.
44:55 Veci, ktoré tu urobíme, sa dajú aplikovať aj v nekonečnorozmerných priestorov - o tom viac budete počuť na funkcionálnej analýze.
46:00 Dá sa pracovať aj so skalárnym súčinom nad $\mathbb C$, definícia sa trochu zmení, dostaneme unitárne (hermitovské) vektorové priestory.
51:45 Definícia 10.2 - dĺžka vektora $|\vec x|=\sqrt{\langle\vec x,\vec x\rangle}$
54:25 Dĺžka pre $\mathbb R^2$ a $\mathbb R^n$ so štandardným skalárnym súčinom.
59:00 Chceme sa pozrieť na vlastnosti dĺžky odvodenej od skalárneho súčinu.
1:01:25 Veta 10.3 - vlastnosti dĺžky (Cauchy-Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť)
1:07:45 Dôkaz vety 10.3
1:11:10 Dôkaz Cauchy-Schwarzovej nerovnosti
1:21:40 Dôkaz trojuholníkovej nerovnosti
1:25:20 Zmysel môžu mať aj iné dĺžky ako obvyklá.
1:27:42 Ďalej chceme aj pojem uhla.
1:28:20 Poznámka čo dostaneme pre podiel $\frac{\langle \vec x,\vec y\rangle}{|\vec x|\cdot|\vec y|}$ z Cauchy-Schwarzovej nerovnosti.
1:30:00 Ako súvisel "stredoškolský" skalárny súčin s uhlom.
1:31:55 Definícia 10.4 - uhol vektorov
1:33:55 Definícia 10.4 - kolmé (ortogonálne) vektory, $\vec x\perp\vec y$
1:35:22 Teraz je to obrátene (definovali sme najprv skalárny súčin a pomocou neho uhol), než to bolo na strednej škole.
1:36:12 Uhol je dobre definovaný.
1:39:25 Máme definovaný uhol v ľubovoľnom euklidovskom priestore.
1:39:50 Pre štandardný skalárny súčin je to zhodné so štandardným pojmom uhla.
1:41:43 Plán nabudúce: Pozrieme sa na to, ktoré vektory sú kolmé.


Lineárna algebra a geometria (2) - Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces | prednáška 06
https://www.youtube.com/watch?v=jOQOtyD3iYI
0:22 Sumár predošlej prednášky
5:30 Štandardný euklidovský vektorový priestor (ŠEVP) = $\mathbb R^n$ so štandardným skalárnym súčinom
5:50 Príklad: $\vec e_1,\dots,\vec e_n$ sú ortogonálne v $\mathbb R^n$ (so štandardným skalárnym súčinom)
8:23 Kolmé vektory v $\mathbb R^2$ (so štandardným skalárnym súčinom) a podobný príklad v $\mathbb R^{2n}$
13:18 Terminológia v angličtine: inner product vs. dot product
15:25 Veta 10.5: Nenulové ortogonálne vektory sú lineárne nezávislé.
17:03 Dôkaz vety 10.5
22:20 Dôsledok 10.6: Ak mám $n$ nenulových ortogonálnych vektorov v $n$-rozmernom priestore, tak tvoria bázu.
23:50 Obrátená implikácia vo vete 10.5 neplatí.
24:40 Definícia 10.7: ortogonálna báza a ortonormálna báza
27:40 Príklad: štandardná báza v ŠEVP
29:05 Kroneckerova delta
30:35 Pre ortonormálnu bázu máme $\langle\vec a_i,\vec a_j\rangle=\delta_{ij}$.
32:50 Má každý euklidovský vektorový priestor ortogonálnu (ortonormálnu) bázu?
33:45 Veta 10.8: Existencia ortonormálnej bázy v konečnorozmernom podpriestore.
36:05 Plán: Najprv si ukážeme ideu dôkazu na obrázku.
36:30 Prípad $S=V$ a $\dim(V)=2$.
47:45 Dôkaz vety 10.8.
1:06:15 Algoritmus z dôkazu sa volá Gramova–Schmidtova ortogonalizácia.
1:07:50 Tento vzorec sa ľahko odvodí.
1:09:05 Priestor $V$ nemusí nutne byť konečne generovaný.
1:09:43 Príklad na Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces.
1:21:51 Plán nabudúce: Pokračujeme v euklidovských vektorových priestoroch, budeme definovať $S^\bot$, ortogonálny doplnok podpriestoru $S$, bude preň platiť $V=S\oplus S^\bot$.
1:23:40 Tieto veci budú potom neskôr dôležité, keď budeme chcieť počítať vzdialenosť medzi bodom a podpriestorom.

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Ortogonálny doplnok, ortogonálna projekcia | prednáška 07$\newcommand{\skal}[2]{\langle{\vec{#1}},{\vec{#2}}\rangle}$
https://www.youtube.com/watch?v=ThN9yMlGDiM
9:55 Definícia 10.9: ortogonálny doplnok $M^\bot$
13:15 Príklady v $\mathbb R^2$
22:00 Veta 10.10: $M^\bot$ je podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúziu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$
25:20 Dôkaz, že $M^\bot$ je podpriestor.
29:00 Dôkaz, že $M\subseteq N$ $\Rightarrow$ $N^\bot\subseteq M^\bot$ (obracia inklúzie)
29:47 skok
29:50 koniec dôkazu vety 10.10
30:22 Ortogonálny doplnok - ideme ukázať nejakú ďalšiu vlastnosť.
31:00 Veta 10.11: $V=S\oplus S^\bot$ (v konečnorozmerných priestoroch)
33:20 Pripomenutie direktného súčtu.
36:30 Dôkaz - existencia rozkladu na súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$.
46:25 Dôkaz - jednoznačnosť rozkladu na súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$.
51:00 Dimenzia ortogonálneho doplnku: $\dim(S)+\dim(S^\bot)=\dim(V)$, t.j. $\dim(S^\bot)=n-k$ ak $\dim(V)=n$ a $\dim(S)=k$.
52:47 Veta 10.12: $(S^\bot)^\bot=S$ (ak $S$ je podpriestor konečnorozmerného EVP)
58:20 $S\subseteq (S^\bot)^\bot$ platí v ľubovoľnom vektorovom priestore, ale vo všeobecnosti nemusí platiť rovnosť. Kontrapríklad sa dá pozrieť napríklad tu: viewtopic.php?t=1654
59:45 Zopakovanie vety 10.11.
1:00:24 Teraz chceme hľadať rozklad $\vec x=\underset{\in S}{\underbrace{\vec s}}+\underset{\in S^\bot}{\underbrace{\vec t}}$.
1:02:28 Definícia 10.13: Ortogonálna projekcia $p\colon V\to S$
1:05:40 Na projekciu sa môžem pozerať na zobrazenie $V\to S$ ale aj ako na zobrazenie $V\to V$.
1:07:25 Veta 10.14(1): $p(\vec x)=\vec x$ pre $\vec x\in S$ a $p(\vec y)=\vec 0$ pre $\vec y\in S^\bot$
1:08:10 Veta 10.14(2): $\operatorname{Im}(S)=S$
1:08:30 Veta 10.14(3): $p\circ p=p$, t.j. $p$ je idempotentné
1:09:30 Veta 10.14(4): $p$ je lineárne
1:11:20 Dôkaz 10.14(1)
1:13:30 Dôkaz 10.14(2)
1:14:05 Dôkaz 10.14(3)
1:16:35 Dôkaz 10.14(4)
1:19:40 Chceme sa pozrieť na konkrétny príklad pre $V=\mathbb R^3$ a aj nájsť maticu zobrazenia $M_p$.
1:21:00 Zvolíme si $S=[\vec a_1,\vec a_2]=[(1,1,-1),(1,-1,0)]$. (Vektory $\vec a_1$, $\vec a_2$ sú na seba kolmé.)
1:23:25 Nájdeme $\vec a_3$ kolmý na $\vec a_1$, $\vec a_2$.
1:26:45 Pre ľubovoľný vektor $\vec x$ vieme nájsť jeho súradnice v báze $(\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3)$.
1:31:00 Teraz už vieme pre ľubovoľné $\vec x=\alpha\vec a_1+\beta\vec a_2+\gamma\vec a_3$ vyjadriť $p(\vec x)=\alpha\vec a_1+\beta\vec a_2$.
1:32:00 Po dosadení dostaneme predpis $p(x_1,x_2,x_3)=(\frac56x_1-\frac16x_2-\frac13x_3, -\frac16x_1+\frac56x_2-\frac13x_3,-\frac13x_1-\frac13x_2+\frac13x_3)$
1:36:27 Nájdeme maticu $M_p=\begin{pmatrix}
\frac56 &-\frac16 &-\frac13 \\
-\frac16 & \frac56 &-\frac13 \\
-\frac13 &-\frac13 & \frac13 \\
\end{pmatrix}$
1:38:37 $M_p$ je symetrická, t.j. $M_p=(M_p)^T$. Platí tiež, že hodnosť aj stopa matice sa rovnajú $2$ t.j. $\dim(S)$. Neskôr uvidíme, že tieto veci platia vždy pre projekciu v ŠEVP.
1:40:20 Nabudúce: Uvidíme nejaké vlastnosti projekcie a matice projekcie. Ukážeme si aj iný spôsob ako túto maticu nájsť.



Lineárna algebra a geometria (2) - Matica ortogonálnej projekcie, euklidovský izomorfizmus | pred 08
https://www.youtube.com/watch?v=wo-soS0PdSQ
0:08 Zopakovanie vecí o euklidovských vektorových priestoroch
1:27 Pripomenutie ortonormálnej bázy
2:15 Zopakovanie definície ortogonálneho doplnku
2:32 Pre podpriestor $S$ v konečne generovanom priestore máme $V=S\oplus S^\bot$, t.j. každý vektor z $V$ sa dá jediným spôsobom zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$.
3:12 Zavedenie označenia $\vec x=\vec s_x+\vec t_x$
3:45 Pripomenutie projekcie na podpriestor
5:14 Máme lineárne zobrazenie $\mathbb R^n\to\mathbb R^n$, a teda nejakú maticu $n\times n$.
7:29 Veta 10.15: Ak pracujeme v ŠEVP, tak matica projekcie je symetrická.
9:25 Dôkaz vety 10.15
31:54 Veta 10.16: Vyjadrenie projekcie pomocou ortogonálnej reps. ortonormálnej bázy podpriestoru.
Ak $\vec u_1, \vec u_2,\dots, \vec u_k$ tvoria ortonormálnu bázu podpriestoru $S$, tak
$$p(\vec x)= \skal{x}{u_1} \vec u_1 + \skal{x}{u_2} \vec u_2 + \dots + \skal{x}{u_k} \vec u_k.$$
Pre maticu projekcie potom dostaneme $M_p=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2 + \dots + \vec u_k^T \vec u_k,$ t.j. $$M_p=U^TU$$ pre $U=\begin{pmatrix}\vec u_1\\ \vec u_2\\ \vdots\\ \vec u_k\end{pmatrix}$.
39:58 Tento vzorec je veľmi jednoduchý, ak máme jednorozmerný priestor: $P=\vec u^T\vec u$.
43:10 Dôkaz častí 1 a 2 z vety 10.16.
48:09 Dôkaz časti 3 z vety 10.16 pre $k=1$.
54:52 Dôkaz časti 3 z vety 10.16 pre ľubovoľné $k$.
1:07:05 Teraz ideme robiť niečo iné - ale ortogonálne projekcie budeme neskôr používať (pri hľadaní vzdialenosti).
1:09:30 Zaujímať nás bude aj to, ako vyzerajú zobrazenia, ktoré zachovávajú skalárny súčin.
1:11:50 Definícia 10.16: Euklidovský izomorfizmus
1:15:40 Príklad lineárneho zobrazenia, ktoré (ne)zachováva skalárny súčin; t.j. je (nie je) euklidovský izomorfizmus.
1:18:50 Veta 10.17: Pre každý euklidovský vektorový priestor dimenzie $n$ máme euklidovský izomorfizmus do ŠEVP $\mathbb R^n$.
1:20:50 Dôkaz vety 10.17
1:27:30 Ďalšia otázka: Zobrazenia, ktoré zachovávajú štandardný skalárny súčin, t.j. $\langle\vec x,\vec y\rangle=\langle f(\vec x),f(\vec y)\rangle$. (Toto bude nabudúce.)

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Ortogonálne transformácie a matice. Afinný priestor | pred 09
https://www.youtube.com/watch?v=rvTF8v6pRvk
0:08 Dokončíme kapitolu o euklidovských vektorových priestoroch
0:22 Zopakovanie vecí o euklidovských vektorových priestoroch
8:55 Chceme sa pozrieť na to, aké "divoké" môžu byť skalárne súčiny na $\mathbb R^n$.
11:35 Otázka: Ako vyzerajú euklidovské izomorfizmy $\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ (ŠEVP).
14:15 Veta 10.18: Ortogonálne matice určujú euklidovské izomorfizmy.
16:12 Príklady euklidovských izomorfimov/ortogonálnych matíc:
21:00 Dôkaz vety 10.18.
27:35 Ortogonálne matice = riadky tvoria ortonormálnu bázu
29:20 Platí aj opačná implikácia
31:27 Ďalšie príklady ortogonálnych matíc
34:20 Definícia a veta 10.19: Pre ortogonálnu maticu $\det(A)=\pm1$. Množiny $O(n)$ a $SO(n)$ s násobením matíc tvoria grupy. Tzv. ortogonálna grupa a špeciálna ortogonálna grupa. WP: Orthogonal group
37:38 Dôkaz vety 10.19.
44:00 $O(n)$ a $SO(n)$ sú Liove grupy.
46:18 Vzťahy medzi grupami, ktoré sme videli: $SO(n)=O(n)\cap SL_n(\mathbb R)$ a platia takéto inklúzie:
$$
\require{AMScd}
\begin{CD}
SO(n) @>>> SL_n(\mathbb R)\\
@VVV @VVV \\
O(n) @>>> GL_n(\mathbb R)\\
\end{CD}
$$
Afinné priestory$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\vektory}[1]{{#1}}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\afin}[1]{\mathscr{#1}}$
48:41 Začíname kapitolu o afinných priestoroch
49:05 Pripomenutie vecí o vzťahu medzi riešeniami homogénneho a nehomogénneho systému.
54:40 $R(N)$ (vo všeobecnosti) nie je vektorový podpriestor.
59:25 $R(N)$ je "posunutý" vektorový podpriestor.
1:00:10 Afinné priestory nám dávajú formalizmus, ktorý umožní pracovať s "posunutými" vektorovými podpriestrmi.
1:00:30 Afinné priestory - body a vektory
1:02:20 Ideme definovať afinný priestor.
1:02:50 Definícia 11.1 - afinný priestor $\afin A=(\body B,\vektory V)$
1:10:57 Dimenziu definujeme ako $\dim(\afin A)=\dim(V)$, (t.j. dimenzia vektorovej zložky).
1:12:02 Budú k dispozícii poznámky (Teams, Sharepoint)
1:13:15 Schématický obrázok k definícii
1:17:25 Príklad 0: $\body B=\{B\}$, $\vektory V=\{\vec 0\}$ (jediný bod)
1:18:28 Príklad 1: školská rovina
1:22:22 Príklad 2: $\body B=\mathbb R^n$ a $\vektory V=\mathbb R^n$
$\vekt{AB}=(b_1-a_1,\dots,b_n-a_n)$ a $X+\vec v=(x_1+v_1,\dots,x_n+v_n)$
1:28:48 Uvidíme príklad, kde sa bodová a vektorová zložka nerovnajú.
1:29:15 Príklad 3: Máme nejaký riešiteľný lineárny systém; body = riešenia homogénneho systému, vektory = riešenia homogénneho systému.
V tomto príklade máme $\dim(\afin A)=n-h(A)$.
1:38:35 Plán na ďalšie prednášky: budovať teóriu afinných priestorov.


Lineárna algebra a geometria (2) - Afinné priestory a súradnicové systémy, afinné zobrazenia | p10
https://www.youtube.com/watch?v=ZES0URKXCd8
0:11 Pripomenutie definície afinného priestoru
4:15 Dôležitý rozdiel: Vo $\vektory V$ mám jeden význačný prvok $\vec 0$, v $\body B$ sú všetky prvky rovnocenné (totálna demokracia, nikto sa nad nikoho nepovyšuje).
5:30 Ideme sa pozrieť na vlastnosti, ktoré vyplývajú z definície.
5:45 Veta 11.2(1): $\vekt{XX}=\vec 0$ a platí $\vekt{XY}=\vec 0$ $\Rightarrow$ $X=Y$
Veta 11.2(2): $\vekt{XY}=\vekt{ST}$ $\Rightarrow$ $\vekt{XS}=\vekt{YT}$
Veta 11.2(3): $\vekt{XY}=-\vekt{YX}$
7:52 Chceme overiť, že sa to dá dokázať z axióm uvedených v definície afinného priestoru.
8:20 Dôkaz 11.2(1)
10:45 Dôkaz 11.2(2)
14:00 Dôkaz 11.2(3)
14:49 V zelenej knihe je ešte uvedená aj ďalšia (ekvivalentná) definícia.
15:27 Chceme sa pozrieť na vzťah medzi bodovou a vektorovou zložkou.
16:07 Veta 11.3: Bijekcia $\body B\to\vektory V$, $X\mapsto\vekt{OX}$.
18:47 Obrázok k vete 11.3.
20:50 Dôkaz vety 11.3
Afinné podpriestory
27:37 Chceme definovať afinné podpriestory.
28:00 Definícia 11.4: Afinný podpriestor
30:44 $(R(N),R(H))$ je afinný podpriestor $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$
36:25 Definícia 11.5: Priamka, rovina, nadrovina
Súradnicové systémy v afinných priestoroch
39:50 Vo vektorovej zložke vieme dostať súradnice vektora, čo v bodovej zložke?
41:00 Definícia 11.6: Afinný súradnicový systém $(O; \vec a_1,\dots,\vec a_n)$.
43:06 Príklad v $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$.
45:35 Súradnice bodu vzhľadom na afinný súradnicový systém.
$X\equiv(x_1,\dots,x_n)$ $\Leftrightarrow$ $\vekt{OX}\equiv(x_1,\dots,x_n)$ $\Leftrightarrow$ $X=O+\sum_{i=1}^n x_i\vec a_i$
50:45 Súradnice bodu závisia od voľby $O$.
Afinné zobrazenia
52:15 Definícia 11.7: afinné zobrazenie
$f\colon\body B\to\body B'$, $\varphi\colon\vektory V\to\vektory V'$ a platí $\varphi(\vekt{XY})=\vekt{f(X)f(Y)}$
58:04 Príklad: Z lineárneho zobrazenie $\varphi\colon\vektory V\to\vektory V'$ dostaneme práve jedno afinné zobrazenie, ak zvolíme $f(P)=P'$.
$f(X)=X'=P'+\varphi(\vekt{PX})$
1:16:56 Príklad $(\body B,\vektory V)=(\body B',\vektory V')=(\mathbb R,\mathbb R)$ a zobrazením $\varphi(x)=kx$, $f(x)=l+lx$
1:23:40 Veta 11.8: $f(x_1,\dots,x_k)=(x_1,\dots,x_k)M_\varphi+f(0,\dots,0)$, t.j. $f(X)=\vekt{OX}\cdot M_\varphi+f(O)$.
1:28:12 Dôkaz vety 11.8.
1:31:35 Videli sme, že afinné zobrazenia nie sú to isté ako lineárne zobrazenia (a zovšeobecnenie príkladu $\mathbb R\to\mathbb R$ do viac rozmerov).
1:32:00 Lineárne zobrazenie je dané násobením maticou, afinné zobrazenie je násobenie maticou a pripočítanie nejakého bodu.
1:32:30 Ideme definovať afinný izomorfizmus.
1:33:13 Definícia 11.9: $(f,\varphi)$ je afinný izomorfizmus $\Leftrightarrow$ $f$ je bijekcia
1:33:40 Definícia 11.10: $(f,\varphi)$ je afinný izomorfizmus $\Leftrightarrow$ $\varphi$ je (lineárny) izomorfizmus
1:34:02 T.j. izomorfizmus vieme vyjadriť cez podmienku hovoriacu o bodovej zložke ale aj cez podmienku hovoriacu o vektorovej zložke.
1:34:25 Dôkaz - domáca úloha (hint: použiť zobrazenie $h_0$)
1:34:40 Plán nabudúce: Iný typ súradníc (barycentrický súradnicový systém).

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Barycentrický súradnicový systém | prednáška 11$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\vektory}[1]{{#1}}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\afin}[1]{\mathscr{#1}}$
https://www.youtube.com/watch?v=HYJel9yOmt4
0:07 Pripomenutie: afinné priestory, riešenia nehomogénneho systému ako príklad
7:52 Pripomenutie: afinný súradnicový systém
10:47 Pripomenutie: afinné zobrazenia
Barycentrický súradnicový systém
WP: Barycentric coordinates
12:53 Plán: Teraz chceme iný typ súradníc.
15:30 Otázka: Bolo by možné vyjadrenie $X\equiv \sum\limits_{i=1}^? \lambda_i A_i$ pre body?
18:00 Jeden problém: Vieme čo znamená $\sum \lambda_i A_i$ ak pracujeme v podpriestore $(\body B_n,\vektory V_n)\subset(\mathbb R^{n+k},\mathbb R^{n+k})$ (robím lineárne kombinácie $(n+k)$-tíc); ako by sme to ale urobili všeobecne pre ľubovoľný afinný priestor $(\body B,\vektory V)$.
21:40 Druhý problém: Ak robíme lineárne kombinácie $(n+k)$-tíc, tak sa môže stať, že výsledok už nebude v pôvodnom podpriestore (nepatrí do $\body B_n$).
27:10 Riešenie pre $(\body B_n,\vektory V_n)\subset(\mathbb R^{n+k},\mathbb R^{n+k})$
30:20 Označenie $\vekt{XY}=Y-X$
42:25 Dostali sme podmienku $\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i =1$
47:20 Definícia 11.11: Barycentrická kombinácia
51:30 Poznámka: Ak $\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i =1$, tak bod určený ako $X=\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i A_i$ patrí do $\body B_n$.
59:16 Môžete si skúsiť rozmyslieť, ktoré body dostanete akými kombináciami.
59:42 Ešte sa pozrieme na intuíciu za podmienkou, prečo chceme aby $(\vekt{A_0A_1},\vekt{A_0A_2},\dots,\vekt{A_0A_n})$ bola báza.
1:02:26 Veta a definícia 11.12: Jednoznačnosť vyjadrenia, barycentrický súradnicový systém (a jeho vzťah k a.s.s.)
1:07:10 Dôkaz vety 11.12.
1:19:15 Sumár toho, čo sme teraz urobili.
1:24:36 Pracovali sme iba pre prípad $(\body B_n,\vektory V_n)\subset(\mathbb R^{n+k},\mathbb R^{n+k})$. Dá sa to urobiť aj všeobecne - je to v zelenej knihe.
1:27:10 Ak bude záujem, tak všeobecný prípad je možné prejsť aj na konzultáciách.
1:28:11 Nabudúce: Afinné zobrazenia a barycentrické kombinácie, parametrické a všeobecné vyjadrenie afinného podpriestoru.


Lineárna algebra a geometria (2) - Parametrické a všeobecné vyjadrenie afinného podpriestoru | p12
https://www.youtube.com/watch?v=fQHgyKGEarw
0:07 Pripomenutie: Afinné priestory
0:48 Pripomenutie: Afinné zobrazenia
3:04 Pripomenutie: Barycentrický súradnicový systém, barycentrická kombinácia
4:25 Otázka: Čo robí afinné zobrazenie s barycentrickými kombináciami?
5:28 Veta 11.13: Afinné zobrazenia zachovávajú barycentrické kombinácie.
7:53 Dôkaz vety 11.13.
14:29 Afinné zobrazenia máme popísané aj pomocou matíc: Konštanta + lineárne zobrazenie. (Posunutie + lineárne zobrazenie.)
15:14 Pre lineárne zobrazenia sme mali základnú vetu o lineárnych zobrazeniach (ako je určené lin. zobrazenie obrazmi bázových vektorov). Dala by sa urobiť analógia pre afinné priestory?
16:50 Veta 11.14 (Základná veta o afinných zobrazeniach): Obrazy bodov z barycentrického súradnicového systému jednoznačne určujú afinné zobrazenie.
21:10 Dôkaz vety 11.14
Parametrické a všeobecné (analytické) vyjadrenie afinného podpriestoru
37:39 Ideme sa pozrieť na parametrické a všeobecné vyjadrenie.
38:48 V $\afin A_k=(\body B_k,\vektory V_k)\subseteq\afin A_n=(\body B_n,\vektory V_n)=(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$ sa pýtame:
39:40 Otázka 1. Ako skonštruovať všetky body v $\body B_k$?
42:20 Otázka 2. Ako zistiť, či zadaný bod patrí do $\body B_k$?
44:52 Odpoveď: 1. Paramterické vyjadrenie. 2. Všeobecné vyjadrenie.
46:50 Najprv ukážeme jeden špeciálny prípad (priamka v rovine, t.j. $k=1$ a $n=2$) a až potom urobíme všeobecný prípad pre ľubovoľné $k$, $n$.
47:52 Prípad $k=1$ a $n=2$ (priamka v rovine)
48:23 Parametrické vyjadrenie priamky.
58:38 Na otázku 2 sa dá odpovedať aj pomocou parametrického vyjadrenia, ale chceli by sme rýchlejšiu odpoveď.
59:20 Odvodenie všeobecného vyjadrenie z parametrického.
1:06:15 Ako sa dostaneme od všeobecného vyjadrenie k parametrickému.
1:08:05 Teraz sa chceme pozrieť na všeobecný prípad - čo sa tam dá čakať?
1:12:33 Veta 11.15: Parametrické vyjadrenie
1:21:11 Dôkaz vety 11.15
1:27:31 Ideme z parametrického vyjadrenia dostať všeobecné.
1:28:55 Zoberieme si maticu $B$, kde stĺpce sú súradnice vektorov $\vec b_1,\dots,\vec b_k$.
1:30:07 V nej máme $k$ lineárne nezávislých riadkov, ktoré dáme do matice $B'$ a dostaneme sústavu $B'T=X'-A'$ (ktorá má $k$ rovníc a $k$ neznámych).
1:34:18 Riešenie tejto sústavy sa dá vyjadriť Cramerovým pravidlom. Dostaneme tak vyjadrenie $t_1=\ell_1(x_{i_1},\dots,x_{i_k})$, ..., $t_k=\ell_k(x_{i_1},\dots,x_{i_k})$, kde funkcie $\ell_1,\dots,\ell_k$ sú v každej premennej lineárne.
1:38:51 Toto riešenie môžem dosadiť do ostatných $n-k$ rovníc.
1:42:30 Dostali sme všeobecné vyjadrenie v tvare $CX=D$.
1:43:03 Každý bod z $\afin A_k$ vyhovuje systému, ktorý sme dostali.
1:44:48 Ešte si chceme uvedomiť, že tieto kroky sa dajú otočiť, takže je to ekvivalencia.
1:46:20 Ak $(x_1,\dots,x_n)$ je riešenie $CX=D$ a vezmeme $t_1=\ell_1(x_{i_1},\dots,x_{i_k})$, ..., $t_k=\ell_k(x_{i_1},\dots,x_{i_k})$, tak máme parametre pre bod $(x_1,\dots,x_n)$
1:47:04 $X\in\body B_k$ $\Leftrightarrow$ $CX=D$.

Veta 11.16 - o všeobecnej rovnici nadroviny vyjadrenej cez determinant - nebola na prednáške. Dá sa pozrieť v poznámkach alebo v zelenej knihe. (V Korbaš-Gyurki je to Veta 11.10.)

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Zmena súradníc matica prechodu barycentrum simplex | prednáška 13$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\vektory}[1]{{#1}}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\afin}[1]{\mathscr{#1}}$
https://www.youtube.com/watch?v=JC_IVEF4bkA
0:20 Zopakovanie - afinné priestory
2:39 Zopakovanie - afinné zobrazenia
3:10 Pripomenutie - parametrické a všeobecné vyjadrenie
4:20 Zopakovanie - afinný súradnicový systém
6:16 Afinné zobrazenie ako $f(X)=f(O)+\vekt{OX}\cdot M_\varphi$
8:34 Zmena súradníc pri zmene súradnicového systému
V poznámkach sú to súbory AfP7*.pdf.
10:35 Súradnice vektora vzhľadom na danú bázu
21:10 Úloha: Zistiť vzťah medzi súradnicami v jednej báze a v druhej báze
22:10 Príklad vektora a dvoch báz, na ktorých to vyskúšame.
26:50 Vyjadrenie vektorov jednej bázy pomocou druhej.
31:20 Definícia 1.18: Matica prechodu
33:45 Matica prechodu pre náš príklad.
38:25 Matica prechodu opačným smerom
41:40 Veta 11.19: $P$ je regulárna a $P'=P^{-1}$
42:00 Dôkaz, že $PP'=P'P=I$.
47:35 V našom príklade platí $P'=P^{-1}$.
48:46 Stále chceme nejako vyjadriť vzťah medzi súradnicami vektora v dvoch rôznych bázach.
49:30 Veta 11.20: Regulárna matica "vyrobí" z bázy opäť bázu. (Tak že $P$ je matica prechodu.)
52:07 Odvodenie, že $(x'_1,\dots,x'_n)=(x_1,\dots,x_n)P$ ak $P$ je matica prechodu od $(\vec a'_1,\dots,\vec a'_n)$ k $(\vec a_1,\dots,\vec a_n)$.
57:40 Veta 11.21 - sumarizuje to čo sme práve dokázali.
1:01:10 Veta 11.21 pre náš príklad.
1:07:30 Poznámka o rôznych vyjadreniach toho istého vektora.
1:12:22 Zmena súradníc bodu v afinnom priestore - v zelenej knižke.
1:14:04 Teraz sa ešte vrátime k iným veciam.
1:14:20 Zopakovanie vecí o barycentrických súradniciach.
1:17:17 Ako súvisí barycentrická kombinácia s ťažiskom.
1:22:25 Definícia 11.15: $\Delta^{n-1}$, $(n-1)$-rozmerný simplex
1:26:05 Pre $n=2$ dostaneme úsečku.
1:29:05 Pre $n=3$ dostaneme trojuholník.
1:32:25 $\Delta^{n-1}$ leží v $(n-1)$-rozmernom afinnom podpriestore.
1:33:00 Vo všeobecnosti máme $(n-1)$-rozmerný simplex.
1:33:40 Použitie: simplexová metóda, triangulácia v počítačovej grafike.
1:35:31 Simplexy sa využívajú v algebraickej topológii,


Lineárna algebra a geometria (2) - Orientácia vektorového a afinného priestoru | prednáška 14
https://www.youtube.com/watch?v=hYLKNXqQrng
Vzájomné polohy afinných podpriestorov
Súbor AfP8*.pdf.
0:30 Ideme sa pozrieť na vzájomné polohy afinných podpriestorov.
1:00 Dve priamky v rovine - rovnobežné, rôznobežné.
3:23 Dve priamky v 3-rozmernom priestore - rovnobežné, rôznobežné, mimobežné.
6:05 Dve roviny v 3-rozmernom priestore - rovnobežné, rôznobežné.
7:30 Chceme pracovať všeobecne v afinnom priestore $\afin A_n=(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$ a pozerať sa na dva afinné podpriestory.
9:30 Definícia 11.18: rovnobežné, rôznobežné, mimobežné afinné podpriestory.
17:29 Ideme si ukázať, že sa môže stať to, že nenastane ani jedna možnosť.
18:05 Príklad - dve roviny v $\mathbb R^4$, ktoré nie sú rovnobežné, rôznobežné ani mimobežné.
32:10 Príklad - dve roviny v $\mathbb R^4$, ktoré sa pretínajú v jednom bode.
Orientácia vektorového a afinného priestoru
WP: Orientation (vector space)
Súbor AfP9*.pdf.
34:58 Ideme sa pozrieť na orientáciu priestoru.
35:35 Intuícia o orientácii
41:15 $n=3$ a pravidlo pravej ruky
46:25 Z týchto troch prípadov vidíme, že orientácia súvisí s poradím vektorov v báze.
47:45 Definícia relácie $\sim$ pomocou znamienka determinantu matice prechodu.
50:22 $\sim$ je relácia ekvivalencie, ktorá má dve triedy
53:10 Ideme definovať orientáciu a neskôr sa vrátime k tomu, ako to súvisí s intuíciou, o ktorej sme hovorili.
53:20 Definícia orientácie
53:58 Orientácie nie je vlastnosť vektorového priestoru - je to niečo navyše, čo sme k vektorovému priestoru dodali.
55:40 Ako to súvisí s intuíciou, ktorú sme videli pre $n=1,2,3$.
1:01:27 Afinný priestor - stačí orientovať vektorovú zložku.
1:01:37 Orientácia je dôležitá v analýze, geometrii, fyzike.
1:02:45 Orientácia sa dá definovať aj pre iné veci, nie iba pre vektorové priestory.
1:03:45 Orientácia pre iné geometrické objekty.
1:03:57 Dvojrozmerná sféra $S^2$
1:06:35 Valec
1:08:10 Möbiov pásik (Möbius strip)
1:13:05 Kleinova fľaša (Klein bottle)
WP: Orientability
1:14:37 Sumár vecí, ktoré sme robili pre afinné priestory
1:15:10 Teraz pôjdeme na ďalšiu kapitolu
Afinno-euklidovské priestory
Kapitola XII v zelenej knihe. Súbory AEP1*.pdf.
1:15:53 Základná myšlienka - v afinných priestoroch chceme merať vzdialenosti.
1:20:10 Definícia 12.1: Afinno-euklidovský priestor
1:22:40 Štandardný afinno-euklidovský priestor
1:23:15 Definícia 12.2: $d(A,B)=|\vekt{AB}|$, vzdialenosť bodov $A$ a $B$
1:24:46 Nabudúce ukážeme nejaké vlastnosti vzdialenosti.
1:25:09 Neskôr sa budeme zaoberať aj vzdialenosťami medzi afinnými podpriestormi.

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Afinno-euklidovské priestory, kolmý priemet | prednáška 15$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}$
https://www.youtube.com/watch?v=AaTT5oVbCC8
Affinno-euklidovské priestory
Poznámky: AEP1*.pdf
0:31 Základná myšlienka: AEP = AfP + skalárny súčin
4:35 Pripomenutie definície $d(A,B)$
5:30 Poznámka: $d\colon \body B\times\body B\to\mathbb R_{\ge0}$ je metrika (zadefinujeme neskôr)
6:40 Veta 12.3: Vlastnosti funkcie $d$: 0) $d(A,B)\ge0$, 1) $d(A,B)=d(B,A)$, 2) $d(A,B)=0 \Leftrightarrow A=B$, 3) $d(A,C)\le d(A,B)+d(B,C)$ t.j. trojuholníková nerovnosť.
8:40 Dôkaz vety 12.3.
12:18 Máme skalárny súčin na vektorovej zložke - ale cez $d(A,B)=|\vekt{AB}|$ sme dostali nejakú štruktúru aj na bodovej časti.
13:16 Definícia 12.4: metrika; s pojmom metrického priestoru budete veľa pracovať na analýze.
16:05 Označenie: $\mathbb E^n$ = AEP $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$ spolu s a.s.s. $(O; \vec e_1,\dots, \vec e_n)$ a štandardným skalárnym súčinom.
19:18 Veta 12.5: Ak $A\equiv(a_1,\dots,a_n)$ a $B\equiv(b_1,\dots,b_n)$, tak $d(A,B)=\sqrt{\sum(b_i-a_i)^2}=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+\dots+(b_n-a_n)^2}$
21:15 Dôkaz vety 12.5.
25:22 Kolmosť v AEP
Zelená kniha: s.83 (podkapitoly Kolmosť vektora na afinný podpriestor a Kolmosť afinných podpriestorov)
25:41 Máme definovanú kolmosť vo vektorových priestoroch, budeme to chcieť preniesť aj na bodovú zložku.
26:32 Definícia 12.6: Vektor kolmý na afinný podpriestor v $\mathbb E^n$.
29:30 Veta a definícia 12.7: normálový vektor nadroviny $\vec n=(a_1,\dots,a_n)$ (je kolmý na $\alpha\equiv(a_1x_1+\dots+a_nx_n+a_0=0)$)
34:09 Dôkaz vety 12.7
40:00 Pre $n=2$ a $n=3$ toto poznáte zo strednej školy.
40:23 Ešte k definícii 12.6: Každý vektor, ktorý je kolmý na nadrovinu $\alpha$, je normálový vektor k $\alpha$.
41:31 Teraz chceme obrátene z normálového vektora hľadať rovinu.
42:30 Veta 12.8: Vyjadrenie nadroviny z normálového vektoru a bodu.
45:20 Dôkaz vety 12.8
50:24 Teraz už zadefinujeme, kedy sú na seba kolmé dva afinné podpriestory.
50:40 Definícia 12.9: $\alpha\perp\beta$, $\alpha$ je kolmý na $\beta$
52:18 Porovnanie s našou obvyklou intuíciou pre dve roviny v $\mathbb R^3$. (Žiadne dve roviny v $\mathbb E^3$ nie sú kolmé podľa tejto definície; neskôr zavediem pojem normálovo kolmé nadroviny.
55:58 Tak, ako to je sformulované v definícii, to nevyzerá symetricky.
56:25 Veta 12.10: $\alpha\perp\beta$ $\Rightarrow$ $\beta\perp\alpha$
56:40 Dôkaz vety 12.10.
58:36 Veta 12.11: $\alpha\perp\beta$ $\Rightarrow$ $\dim(\alpha)+\dim(\beta)\le n$
59:00 Dôkaz vety 12.11.
1:01:25 Pre kolmé podpriestory vieme, že súčet dimenzií je nanajvýš $n$.
1:01:40 Veta 12.12: Ak $\alpha\cap\beta\ne\emptyset$ a $\alpha\perp\beta$, tak ich prienik je jednobodový, t.j. $|\body B_\alpha\cap\body B_\beta|=1$.
1:03:00 Dôkaz vety 12.12.
1:06:14 Obrázok a poznámky k vete 12.12 a tomu, čo ideme urobiť vo vete 12.13.
1:10:34 Kolmý priemet bodu do afinného podpriestoru (Dôležité)
Poznámky: AEP2*.pdf
1:11:50 Veta 12.13: kolmopremietací priestor $\alpha_A^\perp$
1:16:24 Poznámka k označeniu - v zelenej knižke: $\alpha_A^\perp=\pi_\alpha^\perp(A)$
1:16:55 Označenie: $A^\perp_\alpha$ voláme komý priemet bodu $A$ do podpriestoru $\alpha$
1:18:13 Obázok a diskusia k $\alpha_A^\perp$ a $A^\perp_\alpha$
1:21:25 Ideme urobiť dôkaz a potom sa pozrieme aj na to, ako skonštruovať $\alpha_A^\perp$ a $A^\perp_\alpha$.
1:22:35 Dôkaz vety 12.13.
1:28:35 Parametrické vyjadrenie: $X\equiv A+t_1\vec w_1+\dots+t_{n-k}\vec w_{n-k}$ (kde $\vec w_1,\dots,\vec w_{n-k}$ je báza $\vektory V(\alpha)^\perp$
1:31:15 Dôkaz jednoznačnosti.
1:34:20 Dôkaz, že prienik je jednobodový.
1:46:15 Dôkaz bol síce dosť intenzívny na zapísanie, ale je relatívne priamočiary.
1:46:41 Nabudúce začneme tak, že si povieme, ako skonštruovať kolmý priemet.


Lineárna algebra a geometria (2) - Vzdialenosť afinných podpriestorov | prednáška 16
https://www.youtube.com/watch?v=vLEcNhAOpvM
0:10 Čo hovorí veta o kolmom priemete.
1:36 Chceme sa pozrieť na to, ako nájsť kolmý priemet.
2:15 Ako nájsť $A^\perp_\alpha$ geometricky (a ako to súvisí s kolmou projekciou vektora)
11:23 Neskôr sa chceme dostať k vzdialenosti bodu a afinného priestoru - to je vlastne vzdialenosť bodov $A$ a $A^\perp_\alpha$
12:20 Vzdialensoti afinných podpriestorov
Poznámky AEP3*.pdf.
13:10 Chceme uvažovať také veci, ako vzdialenosť dvoch priamok, vzdialenosť priamky a roviny, a pod.
14:55 Definícia 12.14: $d(\alpha,\beta)=\inf\{d(X,Y); X\in\body B(\alpha), Y\in\body B(\beta)$
17:40 Veta 12.15: $d(A,\alpha)=d(A,A^\perp_\alpha)$
18:48 Ak $\alpha$ a $\beta$ sú jednoprvkové, tak definícia 12.14 nám dáva vzdialenosť dvoch bodov, t.j. $d(\alpha,\beta)=d(A,B)$ ak $\alpha=\{A\}$ a $\beta=\{B\}$.
19:03 Pomocou tejto vety vieme počítať vzdialenosť bodu od afinného podpriestoru.
20:55 Obrázok k dôkazu
22:20 Dôkaz vety 12.15
29:32 Pozrieme sa teraz na špeciálny prípad, keď $\alpha$ je nadrovina.
30:52 Pre $n=2$ a $n=3$ (vzdialenosť bodu od priamky/roviny) by ste mohli poznať zo strednej školy.
31:23 Ako vypočítame vzdialenosť bodu od nadroviny
48:43 Dostali sme: $d(P,\alpha)=\frac{|a_1p_1+\dots+a_np_n+a_0|}{\sqrt{a_1^2+\dots+a_n^2}}$
49:19 Ešte raz zopakovanie, ako sme dostali vzdialenosť.
50:30 Ak pracujeme s podpriestorom, ktorý nie je nadrovina, tak je výpočet o čosi náročnejší.
Vzdialenosť rovnobežných afinných podpriestorov
51:28 Teraz sa ideme zaoberať prípadom, kedy $\alpha$ a $\beta$ sú rovnobežné.
52:55 Veta 12.16: $d(\alpha,\beta)=d(A,\beta)=d(A,A^\perp_\beta)$ pre ľubovoľné $A\in\alpha$ (kde $\dim(\alpha)\le\dim(\beta)$
54:05 Príklady v $\mathbb E^3$
55:03 Dôležité je $A\in\alpha$, t.j. z priestoru s menšou dimenziou.
56:15 Dôkaze vety 12.16.
1:12:35 Sumarizácia vety 12.16 a jej dôkazu na obrázku.
1:15:07 Veta 12.17: Vzdialenosť rovnobežných nadrovín: $d(\alpha,\beta)=\frac{|b_0-a_0|}{\sqrt{a_1^2+\dots+a_n^2}}$
1:18:02 Dôkaz vety 12.17.
Vzdialenosť mimobežných afinných podpriestorov
Poznámky: AEP4*.pdf
1:12:24 Napríklad dve mimobežné priamky v trojrozmernom priestore
1:22:00 Veta 12.18: Vzdialenosť = dĺžka strednej priečky. (Pre mimobežné priestory existujú $P\in\body B(\alpha)$ a $Q\in\body B(\beta)$ tak, že $\vekt{PQ}\in V(\alpha)^\bot\cap V(\beta)^\bot$. Platí potom $d(\alpha,\beta)=d(P,Q)$.)
1:24:07 Úsečku $PQ$ voláme stredná priečka
1:26:37 Obrázok k tomu, čo by sa robilo v dôkaze.
1:28:20 Nabudúce si ukážeme nejaké aplikácie na pomerne praktické problémy - ukážeme si metódu najmenších štvorcov.

[Martin Sleziak]

Lineárna algebra a geometria (2) - Metóda najmenších štvorcov, vektorový a zmiešaný súčin | pred 17$\newcommand{\abs}[1]{|#1|}$
https://www.youtube.com/watch?v=6ZWXXLKU-GM
0:08 Venujeme sa téme afinno-euklidovské priestory
0:38 Pripomenutie: Afinno-euklidovský priestor
1:41 Pripomenutie: Vzájomné polohy AEP
2:20 Pripomenutie: Vzdialenosť AEP
2:45 Pripomenutie: Vzdialenosť bodu od AEP, kolmý priemet
4:10 Pripomenutie: Ako sa počítal kolmý priemet
5:31 Dnes chceme ukázať nejaké aplikácie
5:41 Metóda najmenších štvorcov
Poznámky: AEP5*.pdf
5:57 Nie je to v Korbaš-Gyurki.
6:10 1. "Približné" riešenie systému lineárnych rovníc
7:00 Riešenie systému $A\cdot X=B$ zodpovedá tomu, že $f_{A^T}(X^T)=B^T$.
10:04 Teda množina riešení je bodová zložka afinného podpriestoru $f_{A^T}^{-1}(B^T)$.
11:12 Systém nemá riešenie p.v.k. $B^T\notin\operatorname{Im}(f_{A^T})$
12:08 Čo ak neexistuje riešenie? Vedeli by sne nájsť aspoň približné riešenie?
13:11 Ilustrácia na obrázku
17:51 Otázka: Čo ak $R(S)=\emptyset$ (t.j. $B^T\notin\operatorname{Im}(f_{A^T})$)
18:25 Odpoveď: Uvažujeme $\alpha=\operatorname{Im}(f_{A^T})\subset \mathbb R^n$ ako afinný podpriestor a riešime systém $(S')$, kde pravá strana je kolmý priemet $B^\bot=(B^T)^\bot_\alpha$.
21:50 Toto je najbližšie riešenie v zmysle, že $(\forall K\in R(S')) d(AK,B)\le d(AX,B)$
24:00 Aproximácia lineárnou funkciou - metóda najmenších štvorcov
29:40 Chceme nájsť funkciu $f_\beta(x)=\beta_0+\beta_1x$, ktorá je (v nejakom zmysle) najbližšie k zadaným bodom.
33:05 Hľadáme $\beta=(\beta_0,\beta_1)$ také, že $$\sum\limits_{i=1}^m \abs{y_i-f_\beta(x_i)}^2=d(\vec y,f_\beta(\vec x))^2$$ je minimálne.
37:16 Máme zobrazenie \begin{align*}
L \colon \mathbb R^2 &\to \mathbb R^m\\
\vec \beta = (\beta_0,\beta_1) &\mapsto (\beta_0+\beta_1x_1,\dots,\beta_0+\beta_1x_m)
\end{align*} a hľadáme $m$-ticu v $\operatorname{Im}(L)$ najbližšie k zadanej.
40:08 T.j. od systému $(S)$ $M_L\cdot\vec\beta^T = (\vec y)^T$ prejdeme k systému $(S')$ $M_L\cdot\vec\beta^T = (\vec y)^\bot$
46:32 Toto sa nazýva aj lineárna regresia a má to veľký praktický význam.
47:09 Podobne sa to dá robiť pre iné funkcie (polynomiálne, exponenciálne, ...)
50:00 Nie je to v Korbaš-Gyurki, na konzultáciách spomenieme ďalšiu literatúru.
WP: Least squares, Ordinary least squares, Simple linear regression
Uhly
Poznámky: AEP6*.pdf
50:27 Pre dve priamky by dostaneme dva rôzne uhly.
53:20 Uhol pre orientované priamky (z intervalu $\langle0,\pi\rangle$).
57:10 Uhol pre neorientované priamky (z intervalu $\langle0,\frac\pi2\rangle$).
1:00:58 Uhol pre nadroviny = uhol normálových vektorov
1:03:28 Ak $\gamma=\frac\pi2$, tak to nezodpovedá našej definícii kolmosti pre afinné podpriestory.
1:04:25 Normálovo kolmé nadroviny.
1:05:22 Vektorový súčin
Poznámky: AEP6*.pdf
WP: Cross product
1:06:05 Budeme pracovať v $\mathbb R^3$ so štandardnou orientáciou, t.j. $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$.
1:08:00 Definícia zo strednej školy.
1:09:40 Definícia 12.X.1: vektorový súčin $\vec a\times\vec b$ je vektor $\vec c$, ktorý je kolmý na $\vec a$ aj $\vec b$, $\abs{\vec c}=\sqrt{\langle\vec a,\vec a\rangle\langle\vec b,\vec b\rangle-\langle\vec a,\vec b\rangle^2}$ a $(\vec a,\vec b,\vec c)$ je kladná báza.
1:14:20 $|\vec a\times\vec b|$ je obsah rovnobežníka určeného vektormi $\vec a$, $\vec b$, máme $|\vec a\times\vec b|=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot|\sin\alpha|$
1:18:30 Veta 12.X.2: Vyjadrenie vektorového súčinu cez determinant a pomocou súradníc.
1:25:30 Veta 12.X.3: Vektorový súčin je antikomutatívny, t.j. $\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a$
1:25:40 Zmiešaný súčin
WP: Triple product
1:25:55 Definícia 12.X.4: zmiešaný súčin $\langle\vec a,\vec b,\vec c\rangle=\langle \vec a\times\vec b,\vec c\rangle$
1:26:55 Veta 12.X.5-1: $\langle\vec a,\vec b,\vec c\rangle=\det\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{pmatrix}$
1:27:24 Veta 12.X.5-2: Zmiešaný súčin je lineárny v každom argumente.
1:27:35 Veta 12.X.5-3: $\langle\vec a,\vec b,\vec c\rangle=\langle\vec c,\vec a,\vec b\rangle=\langle\vec b,\vec c,\vec a\rangle=-\langle\vec b,\vec a,\vec c\rangle$
1:28:30 Veta 12.X.6 $\langle\vec a,\vec b,\vec c\rangle=$objem rovnobežnostena (dôkaz v zelenej knižke)
1:29:25 Chceme sa pozrieť na to, či sa dá vektorový súčin definovať v iných dimenziách.
1:29:40 Veta 12.23: Zobrazenie s vlastnosťami z definície vektorového súčinu existuje iba pre $n=3$ a $n=7$.
1:34:10 Hurwitzova veta o lineárnych normovaných algebrách s delením
1:39:40 S týmto súvisí veľa zaujímavej matematiky.
Linky na Wikipédiu:

• Cross product
• Quaternion
• Octonion
• Normed division algebra
• Hurwitz's theorem (composition algebras)
• Vector fields on spheres
• Hairy ball theorem

Lineárna algebra a geometria (2) - Lineárne transformácie, matica zobrazenia, podobnosť | pred 18
https://www.youtube.com/watch?v=tJe1mM5ffbg
0:20 XIII. Lineárne transformácie
Kapitola XIII v zelenej knižke, poznámky: LT1.pdf.
1:40 Príklad: Pre nejaké lineárne zobrazenie sme sa pozreli na obrazy vektorov vhodnej bázy, a zistili sme, že vyšli ich násobky. T.j. matica vzhľadom na túto bázu je diagonálna.
20:59 Otázky: Dá sa to urobiť vždy? V tejto kapitole budeme na ne vedieť odpovedať.
22:45 Súradnice vektora vzhľadom na danú bázu.
24:27 Matica $f$ vzhľadom na danú bázu: $M_{f,\langle\vec a_i\rangle}$
27:00 Veta 13.1: $Y=XA$ (súradnice obrazu vektora)
29:00 Dôkaz vety 13.1
33:30 Zobrazenia môžeme popisovať nielen pomocou matice vzhľadom na štandardnú bázu, ale aj na iné bázy - a násobenie stále hovorí o súradniciach obrazu.
34:20 V príklade, ktorý sme robili predtým vyšla pri inej báze iná matica.
35:24 Otázka: Aký je vzťah medzi maticou $A$ a maticou $B$?
36:40 Označenie pre maticu prechodu a súradnice v dvoch rôznych bázach.
40:56 Odvodenie $A=PBP^{-1}$ a $B=P^{-1}AP$
49:35 Veta 13.2: Pre matice toho istého zobrazenia vzhľadom na dve rôzne bázy platí: $B=P^{-1}AP$.
51:20 Overenie $B=P^{-1}AP$ na našom príklade.
57:48 Ak máme diagonálnu maticu, vieme, že ide o škálovanie v smere vektorov z bázy - ale ak sú násobky rôzne, tak v iných smeroch to nie je škálovanie.
1:03:00 Výpočet mocniny matice - je ľahký pre diagonálnu $A^n=(PAP^{-1})^n=PA^nP^{-1}$.
1:09:14 Pýtame sa, ako nájsť bázu, pre ktorú má daná lineárne transformácia čo najjednoduchšiu maticu. (V ideálnom prípade diagonálnu.)
1:11:04 Nie vždy sa dá nájsť báza, kde dostaneme diagonálnu maticu. Budeme vedieť ale aspoň dostať maticu, ktorá sa príliš nelíši od diagonálnej.
1:13:20 Definícia 13.3: Podobné matice: $B=QAQ^{-1}$ (pre nejakú regulárnu maticu $Q$), označím $B\sim A$.
1:14:49 Veta 13.4: Podobnosť je relácia ekvivalencie.
1:17:35 Veta 13.5: Matice $f$ vzhľadom na rôzne bázy sú podobné.
1:19:25 Veta 13.6: Ak $A$ je podobná s $B$, a jedna z nich je matica $f$ pri nejakej báze, tak aj druhá je matica $f$ pri nejakej báze.
1:21:20 Dôkaz vety 13.6.
1:24:15 Matice jedného zobrazenia (pri rôznych bázach) tvoria presne triedu ekvivalencie.
1:24:57 Hľadáme bázu, kde bude matica jednoduchá/diagonálna.
1:26:20 Definícia 13.7: Vlastná hodnota a vlastný vektor. WP: Eigenvalues and eigenvectors
1:28:50 Označenie: $VH(f)=\{\lambda\in\mathbb F; (\exists \vec x\ne\vec 0) f(\vec x)=\lambda\vec x\}$ a $VV(f)=\{\vec x\in V; \vec x\ne\vec 0, (\exists \lambda\in\mathbb F) f(\vec x)=\lambda\vec x\}$.
Pre konkrétnu vlastnú hodnotu označíme $VV_\lambda(f)=\{\vec x\in V; \vec x\ne\vec 0, f(\vec x)=\lambda\vec x\}$
1:32:38 Ukážeme si, ako tieto veci počítať.
1:33:00 Tieto veci majú rozsiahle praktické použitie, spomeňme napríklad Google PageRank algoritmus: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1684