msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Informácie o skúške nájdete na mojej stránke

Prednáška č. 1 (18. 2. 2021)

Grupy (pripomenutie definície a niektorých základných vlastností). Podgrupy - definícia, príklady, vlastnosti. Podgrupa generovaná podmožinou grupy, základné vlastnosti.

Homomorfizmus - definícia, príklkady (exponencionála, logaritmus).

Prednáška č. 2 (25. 2. 2021)

Dokončenie časti o homorfizmoch grúp. Vlastnosti homomorfizmov grúp (zachovávanie neutrálneho prvku, inverzných prvkov, obraz podgrupy je podgrupa, vzor podgrupy je podgrupa). Jadro a obraz homomorfizmu grúp. Izomorfizmus. Veta o inverzom homomorfizme, o skladaní homomorfizmov a izomorfizmov.

Cyklické grupy: mocnina a rád prvku v grupe. Vlastnosti mocniny (základné vzorce), skončili sme vetou 2.4.5.

Prednáška č. 3 (4. 3. 2021)
Dokončenie časti o cyklických grupách (vlastnosti rádu prvku, definícia cyklickej grupy a charakterizácia ako grupa poostávajúca z mocnín generátora, izomorfimus s grupami $(Z_n,\oplus)$ a/alebo $(Z,+)$ (podľa počtu prvkov grupy, prípadne podľa rádu generátora). Podgrupy cyklických grúp (sú cyklické). Homomorfný obraz cyklickej grupy (je opäť cyklická grupa).

Na samoštúdium ste dostali časť o grupách permutácií. Z vety o rozklade na transpozície potrebujem, aby ste vedeli čo hovorí a ako spraviť rozklad. Dôkaz časti súvisiacej s paritou budem skúšať len ľudí ašpirujúcich na A.

Rozklad grupy podľa podgrupy. Povedali sme definíciu (ľavých a pravých) tried (rozkladu) grupy $G$ podľa podgrupy $H$ tejto grupy. Ukázali sme si jeden základný príklad.

Prednáška č. 4 (11. 3. 2021)

Dokončenie časti o triedach grupy podľa pogrupy, triedy grupy podľa podgrupy tvoria rozklad danej grupy, všetky triedy majú rovnaký počet prvkov (existuje medzi nimi bijekcia). Index grupy podľa podgrupy. Lagrangeova veta a jej dôsledky (ešte sme nespravili dôkaz pre klasifikáciu grúp, ktoré majú 4 prvky).

Prednáška č. 5 (18. 3. 2021)

Veta o charakterizácii grúp, ktoré majú 4 prvky (posledný z dôsledkov Lagrangeovej vety).
Faktorizácia grupy podľa normálnej podgrupy.
Motivácia, pojem a charakterizácia pojmu normálna (= invariantná) podgrupa danej grupy. Veta o faktorovej grupe, definícia pojmu faktorovej grupy.

Prenáška č. 6 (25. 3. 2021)

Vety o izomorfime (pre faktorizaciu grúp). Ukážky využita na dôkaz, že faktorizácia je izomorfná s nejakou známou grupou. Veta 3.5.11 bola bez dôkazu, nebudem ho skúšať na skúške. Vetu 3.5.12 som ani neformuloval, je to "hviezdicková" téma, tiež nebude na skúške.

Prednáška č. 7 (1. 4. 2021)

Kongruencie grúp.
Okruhy - základné pojmy (komutatívne, s jednotkou, bez deliteľov nuly, obory integrity). Súčin okruhov, podokruhy. Homomorfizmus okruhov.

Prednáška č. 8 (8. 4. 2021)

Správanie sa jednotky pri homomorfizme, zaujímavé príklady homomorfizmov (izomorfizmov) okruhov.
Motivácia a pojem ideálu, faktorizácia okruhov. Prvoideály, faktorizácia kom. okruhu $R$ s jednotkou podľa ideálu $I$ (rôzneho od $R$) je obor integrity práve vtedy, keď je $I$ prvoideál.

Prednáška č. 9 (15. 4. 2021)

Pojem maximálneho ideálu, faktorizácia komutatívneho okruhu s 1 podľa ideálu $I$ je pole práve vtedy, keď je $I$ maximálny ideál. V kom. okruhu s 1 sú maximálne ideály prvoideály. Vety o izomorfizme pre okruhy. Kongruencie na okruhoch.

Okruh polynómov $R[x]$ (dva spôsoby "zavedenia", t.j. dve definície) nad komutatívnym okruhom $R$ s 1. Algebraický a transcendentný prvok nad kumutívnym ohruhom s 1.