msleziak.com

Na prednáške sme videli definície viacerých pojmov týkajúcich sa vzájomnej polohy afinných podpriestorov.$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\vektory}[1]{{#1}}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\afin}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}
\newcommand{\emps}{\emptyset}
$

Skúsme sa pozrieť na to, že môžu viaceré z nich nastať súčasne - t.j. či afinné podpriestory môžu byť súčasne rovnobežné aj rôznobežné, rovnobežné aj mimobežné, rôznobežné aj mimobežné.
Mali by sme po troche rozmýšľania prísť na to, že ak takéto niečo môže nastať, tak iba v nejakých veľmi triviálnych prípadoch, keď jeden z priestorov je jediný bod. (Odporúčam, aby ste sa skúsili najprv samostatne zamyslieť nad tým, kedy takéto možnosti nastanú?)

Pripomeniem, že pre rovnobežné podpriestory má ešte zmysel pýtať sa, či sú totožné. (O tom bola reč na cvičení.)
Tiež pripomeniem, že sa môže stať, že nenastane ani jedna z uvedených možností. (Takéto príklady sme mali na prednáške aj na cvičení.)

Pripomeňme najprv definície:
Rovnobežné: $\vektory V(\alpha)\subseteq \vektory V(\beta)$ alebo $\vektory V(\beta)\subseteq \vektory V(\alpha)$
Rôznobežné: $\body B(\alpha)\cap\body B(\beta) \ne \emptyset$ a súčasne $\body B(\alpha) \nsubseteq \body B(\beta)$ a $\body B(\beta) \nsubseteq \body B(\alpha)$
Mimobežné: $\body B(\alpha)\cap\body B(\beta)=\emptyset$, $\vektory V(\alpha)\cap\vektory V(\beta)=\{\vek0\}$

Kedy sú dva AfPP rôznobežné a mimobežné? Kedy sú dva AfPP rovnobežné aj mimobežné? Kedy sú dva AfPP rovnobežné a rôznobežné?

Možno sa oplatí najprv zamyslieť nad tým, čo vieme o vektorových zložkách povedať pre rôznobežné priestory.
Ak sme si rozmysleli, čo máme pre vektorové zložky rôznobežných podpriestorov, tak už nie je ťažké zistiť, či takáto situácia môže nastať.