Mocniny matice $A-\lambda I$ a veľkosti blokov
Posted: Thu Apr 29, 2021 3:56 pm
Chceme sa trochu pozrieť na to, čo vieme z mocnín matice $(A-\lambda I)$ vyčítať o jej Jordanovom tvare.
Konkrétne mám na mysli to, čo som sformuloval v 06jordan.pdf takto:
Najprv sa pozerajme na to, čo sa stane ak pre nejakú vlastnú hodnotu počítam mocniny matice $(J-\lambda I)$.
Ja to budem skúšať na jednom konkrétnom príklade, kde mám iba dve vlastné hodnoty $\lambda$ a $\mu$. Ale azda nie je ťažké si rozmyslieť, že podobnú úvahy fungujú všeobecne.
Ak máme Jordanov tvar, tak ten vyzerá ako blokovo-diagonálna matica, pričom iba diagonálne bloky sú nenulové a sú to Jordanove bloky.
$$J=
\left(\begin{array}{c|cc|ccc|ccc|cc}
\lambda& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & \lambda& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & \lambda& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\mu& 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\mu \\
\end{array}\right)
$$
Ak sa pozrieme na maticu $J-\lambda I$, tak sa všade namiesto $\lambda$ objaví nula. Ostatné diagonálne prvky sa zmenia o $-\lambda$.
Pre stručnosť si označme $\kappa=\mu-\lambda$. (Pre všetky úvahy, ktoré budeme robiť, je dôležité iba to že v častiach pre ostatné vlastné hodnoty sme dostali na diagonále nenulové prvky a pod diagonálou nuly.)
$$J-\lambda I=
\left(\begin{array}{c|cc|ccc|ccc|cc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa& 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa \\
\end{array}\right)
$$
Čo vieme povedať o hodnosti tejto matice?
V časti zodpovedajúcej ostatným vlastným hodnotám máme hornú trojuholníkovú maticu s nenulovými prvkami na diagonále - tá má plnú hodnosť.
V časti zodpovedajúcej $\lambda$ máme nejaké jednotky, ktoré sú v rôznych stĺpcoch, z nich teda dostaneme lineárne nezávislé riadky.
Hodnosť nám teda znižujú iba tie riadky, ktoré sú nulové. Takýto riadok sme dostali vždy na konci Jordanovho bloku.
$$\text{počet blokov k $\lambda$} = n-h(J-\lambda I)$$
Pozrime sa teraz na to, čo sa stane, keď túto maticu umocníme na druhú (a potom aj na vyššie mocniny).
Stačí ním vlastne umocňovať bloky, ktoré máme na diagonále - inde sú nuly. Súčasne vieme, ako vyzerajú mocniny Jordanovho bloku - to je jedna z prednáškových úloh.
$$(J-\lambda I)^2=
\left(\begin{array}{c|cc|ccc|ccc|cc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa^2& * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa^2 \\
\end{array}\right)
$$
V časti, ktorá zodpovedá ostatným vlastným hodnotám, je stále pravda to, že na diagonále mám nenulové prvky a je to horná trojuholníková matica.
Takisto v časti zodpovedajúcej $\lambda$ stále v nenulových riadkoch mám jednotky na rôznych pozíciách a sú to teda lineárne nezávislé riadky.
Pribudli mi ale nejaké nulové riadky.
Nulový riadok mi pribudol v tých blokoch, ktoré mali veľkosť aspoň $2$. (Pri umocňovaní Jordanovho tvaru mi postupne pribúdajú nulové riadky - ale iba dovtedy, kým nedostaneme nulovú maticu. V bloku veľkosti $1\times1$ tu nemajú kde pribudnúť nulové riadky - už pri prvej mocnine sme tam mali nulovú maticu.)
$$\text{počet blokov k $\lambda$ veľkosti aspoň }2 = h(J-\lambda I)-h((J-\lambda I)^2)$$
Ak znovu zvýšime mocninu odstaneme:
$$(J-\lambda I)^3=
\left(\begin{array}{c|cc|ccc|ccc|cc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa^3& * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa^3 \\
\end{array}\right)
$$
Opäť vidíme, že nám pribudli nulové riadky - v tých blokoch, ktoré boli $3\times 3$ alebo väčšie.
$$\text{počet blokov k $\lambda$ veľkosti aspoň }3 = h((J-\lambda I)^2)-h((J-\lambda I)^3)$$
Podobne to funguje, ak budeme počítať ďalšie mocniny.
Tiež si môžeme všimnúť, že časť zodpovedajúca $\lambda$ vynuluje v takej mocnine, ako je veľkosť najväčšieho bloku.
To presne súvisí s tým, aké je mocnina pri $(t-\lambda)$ v minimálnom polynóme matice $J$ resp. $A$.
Mocniny $(A-\lambda I)$
Vidíme teda, že z hodností matíc $(J-\lambda I)^k$ vieme vyčítať veľkosti blokov prislúchajúcich k $\lambda$.
Ešte si treba uvedomiť, že ak $A$ a $J$ sú podobné, tak to isté platí pre $A-\lambda I$ a $J-\lambda I$ a teda aj pre $(A-\lambda I)^k$ a $(J-\lambda I)^k$.
Keďže sú podobné, tak majú aj rovnakú hodnosť.
Teda ak vypočítame pre zadanú maticu $A$ hodnosti matíc $(A-\lambda I)^k$, tak súčasne vidíme aké sú hodnosti matíc $(J-\lambda I)^k$ a teda aj veľkosti jednotlivých Jordanových blokov.
Konkrétne mám na mysli to, čo som sformuloval v 06jordan.pdf takto:
Mocniny $(J-\lambda I)$Počet blokov (pre vlastnú hodnotu $\lambda$) veľkosti aspoň $k$ je $h((A-\lambda I)^{k-1})-h((A-\lambda I)^k)$.
Najprv sa pozerajme na to, čo sa stane ak pre nejakú vlastnú hodnotu počítam mocniny matice $(J-\lambda I)$.
Ja to budem skúšať na jednom konkrétnom príklade, kde mám iba dve vlastné hodnoty $\lambda$ a $\mu$. Ale azda nie je ťažké si rozmyslieť, že podobnú úvahy fungujú všeobecne.
Ak máme Jordanov tvar, tak ten vyzerá ako blokovo-diagonálna matica, pričom iba diagonálne bloky sú nenulové a sú to Jordanove bloky.
$$J=
\left(\begin{array}{c|cc|ccc|ccc|cc}
\lambda& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & \lambda& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & \lambda& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda& 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\mu& 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\mu \\
\end{array}\right)
$$
Ak sa pozrieme na maticu $J-\lambda I$, tak sa všade namiesto $\lambda$ objaví nula. Ostatné diagonálne prvky sa zmenia o $-\lambda$.
Pre stručnosť si označme $\kappa=\mu-\lambda$. (Pre všetky úvahy, ktoré budeme robiť, je dôležité iba to že v častiach pre ostatné vlastné hodnoty sme dostali na diagonále nenulové prvky a pod diagonálou nuly.)
$$J-\lambda I=
\left(\begin{array}{c|cc|ccc|ccc|cc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa& 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa \\
\end{array}\right)
$$
Čo vieme povedať o hodnosti tejto matice?
V časti zodpovedajúcej ostatným vlastným hodnotám máme hornú trojuholníkovú maticu s nenulovými prvkami na diagonále - tá má plnú hodnosť.
V časti zodpovedajúcej $\lambda$ máme nejaké jednotky, ktoré sú v rôznych stĺpcoch, z nich teda dostaneme lineárne nezávislé riadky.
Hodnosť nám teda znižujú iba tie riadky, ktoré sú nulové. Takýto riadok sme dostali vždy na konci Jordanovho bloku.
$$\text{počet blokov k $\lambda$} = n-h(J-\lambda I)$$
Pozrime sa teraz na to, čo sa stane, keď túto maticu umocníme na druhú (a potom aj na vyššie mocniny).
Stačí ním vlastne umocňovať bloky, ktoré máme na diagonále - inde sú nuly. Súčasne vieme, ako vyzerajú mocniny Jordanovho bloku - to je jedna z prednáškových úloh.
$$(J-\lambda I)^2=
\left(\begin{array}{c|cc|ccc|ccc|cc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa^2& * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa^2 \\
\end{array}\right)
$$
V časti, ktorá zodpovedá ostatným vlastným hodnotám, je stále pravda to, že na diagonále mám nenulové prvky a je to horná trojuholníková matica.
Takisto v časti zodpovedajúcej $\lambda$ stále v nenulových riadkoch mám jednotky na rôznych pozíciách a sú to teda lineárne nezávislé riadky.
Pribudli mi ale nejaké nulové riadky.
Nulový riadok mi pribudol v tých blokoch, ktoré mali veľkosť aspoň $2$. (Pri umocňovaní Jordanovho tvaru mi postupne pribúdajú nulové riadky - ale iba dovtedy, kým nedostaneme nulovú maticu. V bloku veľkosti $1\times1$ tu nemajú kde pribudnúť nulové riadky - už pri prvej mocnine sme tam mali nulovú maticu.)
$$\text{počet blokov k $\lambda$ veľkosti aspoň }2 = h(J-\lambda I)-h((J-\lambda I)^2)$$
Ak znovu zvýšime mocninu odstaneme:
$$(J-\lambda I)^3=
\left(\begin{array}{c|cc|ccc|ccc|cc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa^3& * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\kappa^3 \\
\end{array}\right)
$$
Opäť vidíme, že nám pribudli nulové riadky - v tých blokoch, ktoré boli $3\times 3$ alebo väčšie.
$$\text{počet blokov k $\lambda$ veľkosti aspoň }3 = h((J-\lambda I)^2)-h((J-\lambda I)^3)$$
Podobne to funguje, ak budeme počítať ďalšie mocniny.
Tiež si môžeme všimnúť, že časť zodpovedajúca $\lambda$ vynuluje v takej mocnine, ako je veľkosť najväčšieho bloku.
To presne súvisí s tým, aké je mocnina pri $(t-\lambda)$ v minimálnom polynóme matice $J$ resp. $A$.
Mocniny $(A-\lambda I)$
Vidíme teda, že z hodností matíc $(J-\lambda I)^k$ vieme vyčítať veľkosti blokov prislúchajúcich k $\lambda$.
Ešte si treba uvedomiť, že ak $A$ a $J$ sú podobné, tak to isté platí pre $A-\lambda I$ a $J-\lambda I$ a teda aj pre $(A-\lambda I)^k$ a $(J-\lambda I)^k$.
Keďže sú podobné, tak majú aj rovnakú hodnosť.
Teda ak vypočítame pre zadanú maticu $A$ hodnosti matíc $(A-\lambda I)^k$, tak súčasne vidíme aké sú hodnosti matíc $(J-\lambda I)^k$ a teda aj veľkosti jednotlivých Jordanových blokov.