Úloha 2.6. Dokážte, že $S^\bot=S^{\bot\bot\bot}$.

[mculen]

Úloha 2.6 Nech $V$ je priestor so skalárnym súčinom a $S$ je jeho podpriestor. Dokážte, že $S^\bot=S^{\bot\bot\bot}$.

Vieme, že v ľubovoľnom (aj nekonečnorozmernom) priestore platí $S \subseteq S^{\bot\bot}$ (toto bola časť dôkazu $S = S^{\bot\bot}$, ktorá nevyžadovala konečnorozmernosť). Ak dosadíme $S^{\bot}$ za $S$, dostávame $S^{\bot} \subseteq (S^{\bot})^{\bot\bot} = S^{\bot\bot\bot}$.

Zároveň platí, že ak máme ľubovoľný priestor $V$, a podpriestory $M$ a $N$ také, že $M \subseteq N \subseteq V$, tak $N^{\bot} \subseteq M^{\bot}$. Ak dosadíme $M = S$ a $N = S^{\bot\bot}$, dostávame $(S^{\bot\bot})^\bot \subseteq S^{\bot}$, a teda $S^{\bot\bot\bot} \subseteq S^{\bot}$.

Keďže platí $S^{\bot} \subseteq S^{\bot\bot\bot}$, a zároveň aj $S^{\bot\bot\bot} \subseteq S^{\bot}$, platí aj $S^{\bot} = S^{\bot\bot\bot}$, čo sme mali dokázať.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku, značím si 1 bod.

Ak by náhodou niekto potreboval detailnejšie vysvetlenie v tejto časti, tak sa pokojne spýtajte tu na fóre. (A snáď sa nájde niekto, kto na to skúsi odpovedať.)
Je to ale vec, ktorú by nemalo byť príliš ťažké vidieť priamo z definície.

Vieme, že v ľubovoľnom (aj nekonečnorozmernom) priestore platí $S \subseteq S^{\bot\bot}$ (toto bola časť dôkazu $S = S^{\bot\bot}$, ktorá nevyžadovala konečnorozmernosť).