Ukážky použita pi-base

[Martin Sleziak]

Na viacerých miestach som spomenul databázu π-Base. (Dostupná je aj na tejto linke.)
Dá sa na ňu pozerať ako na nejakú zdigitalizovanú verziu Counterexamples in Topology.

V databáze sú uložené vlastnosti rôznych topologických priestorov. (A súčasne aj viaceré implikácie medzi niektorými vlastnosťami, takže takto vie vydedukovať zo zadaných vlastností nejaké ďalšie.)
Teda tento nástroj vie pomôcť, ak chceme nájsť príklady priestorov s nejakými vlastnosťami.

Aby som to ukázal na niečom, čím sme sa zaoberali aj na prednáške, tak sa pozrieme na veci okolo spočítateľnej bázy okolí resp. spočítateľnej bázy okolí a separabilnosti.

Môžem dať vyhľadať napríklad:
* Separabilný priestor, ktorý nespĺňa prvú axiómu spočítateľnostni
* Priestor s prvou axiómou spočítateľnosti, ktorý nie je separabilný
Vidíme teda, že medzi týmito vlastnosťami neplatí implikácia ani jedným smerom.
Vieme tiež, že tieto dve vlastnosti vyplývajú z druhej axiómy spočítateľnosti. Existujú však priestory, ktoré majú tieto dve vlastnosti a nemajú spočítateľnú bázu topológie - a opäť vieme také príklady nájsť v databáze.

Ak pridám navyše podmienku metrizovateľnosti, tak sa taký priestor už nedá nájsť. Vidno, že tu dokonca softvér vypíše to, že má v databáze tvrdenia, z ktorých neexistencia takéhoto priestoru vyplýva.

V databáze si môžeme prezerať jednotlivé vlastnosti a aj jednotlivé priestory.
Tiež ak sa pozrieme na niektoré tvrdenie, databáza nám ponúkne príklady ukazujúce, že neplatí obrátená implikácia.