Opačná grupa

[Martin Sleziak]

Keďže sa párkrát vyskytla situácia, že sme mali "skoro rovnaké" grupy, ale operácia bola definovaná "obrátene", tak sme skúsim pridať niečo k tomu.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}$

Chceme sa skúsiť zamyslieť nad niečím takýmto:

Nech $(G,*)$ je grupa. Na množine $G$ definujeme novú binárnu operáciu $*'$ predpisom
$$x*'y=y*x$$
(pre ľubovoľné $x,y\in G$).
a) Dokážte, že $(G,*')$ je grupa.
b) Dokážte, že grupy $(G,*)$ a $(G,*')$ sú izomorfné, t.j. $(G,*)\cong(G,*')$.

Ak je operácia $*$ komutatívna, tak $*'$ je presne tá istá operácia. Čiže iba pre nekomutatívny prípad nám toto dá inú - ale stále izomorfnú - grupu.

Takéto niečo by azda bolo prirodzené nazvať opačná grupa. Pridám aj linku na Wikipédiu - ale ak sa chcete nad dôkazom zamyslieť samostatne, tak zatiaľ na ňu nepozerajte: Opposite group.

Nebudem sa venovať časti a) - tá je veľmi ľahká.

Aspoň o čosi náročnejšie je overiť, že tieto grupy sú izomorfné. Ak si však správne tipneme, čo by mohol byť vhodný izomorfizmus, tak by to už nemalo byť ťažké.

Hint 1:

Spoiler:

Spomeniete si na nejakú vec, ktorú sme dokázali o grupách a vymieňalo sa tam poradie?

Hint 2 - ktorý už v podstate prezradí, čo je izomorfizmus:

Spoiler:

Pre inverzný prvok v grupe platí $$\inv{(x*y)}=\inv y*\inv x.$$

Teda o takomto zobrazení by sme chceli overiť, že to je grupový izomorfizmus:

Spoiler:

Máme zobrazenie $\Zobr fGG$ definované ako $f(x)=\inv x$, t.j.
$$f\colon x\mapsto \inv x.$$
(Pre istotu zdôrazním, že $\inv x$ označuje inverzný prvok vzhľadom na operáciu $*$.)

Potom toto zobrazenie určuje izomorfizmus grúp $\Zobr f{(G,*)}{(G,*')}$.

Tu je overenie, že to je izomorfizmus.

Spoiler:

Máme overiť, že $f$ je bijekcia a tiež to, že $f$ je homomorfizmus.

Platí $$f(f(x))=\inv{(\inv x)}=x,$$
teda $f\circ f=id$. To znamená, že $\inv f=f$.
Vidíme, že k zobrazeniu $f$ existuje inverzné zobrazenie, a teda $f$ je bijekcia.

Ešte chceme overiť, či $f$ je homomorfizmus. Pre ľubovoľné $x,y\in G$ máme
$$f(x*y)=\inv{(x*y)}=\inv y*\inv x=\inv x*'\inv y = f(x)*'f(y).$$

[Martin Sleziak]

Keď hovorím o opačnej grupe, tak spomeniem súvisiaci pojem: antihomomorfizmus.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}$

Grupový antihomomorfizmus $\Zobr f{(G,*)}{(H,\circ)}$ je zobrazenie $\Zobr fGH$ také, že
$$(\forall x_1,x_2\in G) f(x_1*x_2)=f(x_2)\circ f(x_1).$$

Napríklad ak $G^{op}$ označíme opačnú grupu ku $G$, tak $\Zobr{id_G}G{G^{op}}$ je antihomomorfizmus.

Tiež si môžeme všimnúť, že $\Zobr fGH$ je antihomomorfizmus p.v.k. $\Zobr fG{H^{op}}$ je homomorfizmus. (Alebo ekvivalentne, ak $\Zobr f{G^{op}}H$ je homomorfizmus.)

Vidíme aj to, že ak aspoň jedna z grúp $G$, $H$ je komutatívna, tak homomorfizmus je to isté ako antihomomorfizmus.