msleziak.com

Nájdite všetky hodnoty parametra $t\in\mathbb R$, pre ktoré zadané vektory tvoria bázu priestoru $\mathbb R^4$.

• $\vec x_1=(1,t,1,t)$, $\vec x_2=(2,1,3,0)$, $\vec x_3=(1,1,1,1)$, $\vec x_4=(1,0,1,-1)$
• $\vec x_1=(1,t,1,t)$, $\vec x_2=(1,2,2,-1)$, $\vec x_3=(1,2,1,2)$, $\vec x_4=(0,1,1,3)$
• $\vec x_1=(1,t,1,t)$, $\vec x_2=(2,1,3,0)$, $\vec x_3=(1,2,1,2)$, $\vec x_4=(1,1,1,-1)$

Pozrime sa napríklad na riešenie druhej skupiny.

Vieme, že $\dim(\mathbb R^4)=4$. Ak teda máme štyri vektory, stačí nám overiť jednu z dvoch podmienok v definícii bázy. (Ak štyri vektory generujú $\mathbb R^4$, tak budú aj lineárne nezávislé. Ak štyri vektory v $\mathbb R^4$ sú lineárne nezávislé, tak tento priestor generujú.)

Jedna z možností je poukladať vektory do riadkov a snažiť sa upraviť maticu na redukovaný tvar. Ak nám vyjde jednotková matica, znamená to, že dané vektory generujú $\mathbb R^4$, a teda tvoria bázu.

$
\begin{pmatrix}
1 & t & 1 & t \\
1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 &t-2& 0 &t-2\\
1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\overset{t\ne2}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim\dots\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$
Uvedené úpravy sú v poriadku iba pre $t\ne 2$, keďže v jednom kroku sme delili $(t-2)$. Pre takéto hodnoty parametra sme dostali, že dané vektory tvoria bázu.

Pre $t=2$ evidentne bázu nedostaneme - vtedy platí $\vec x_1=\vec x_3$.

Pomocou riešenia sústavy

Iná možnosť je pokúsiť sa zistiť pre aké hodnoty koeficientov platí $c_1\vec x_1+c_2\vec x_2+c_3\vec x_3+c_4\vec x_4=\vec0$.
Dostaneme tak nasledovnú sústavu:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
t & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
t &-1 & 2 & 3 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
t-2& 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\overset{t\ne2}\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$
Zistili sme, že pre $t\ne2$ sú vektory lineárne nezávislé, a teda tvoria bázu.
(Pre $t=2$ bázu nedostaneme, ako sme spomenuli už v predošlom riešení.)

Tu je riešenie pre prvú skupinu, zadané vektory sú
$\vec x_1=(1,t,1,t)$, $\vec x_2=(2,1,3,0)$, $\vec x_3=(1,1,1,1)$, $\vec x_4=(1,0,1,-1)$.

Vidíme, že pre $t=1$ je prvý a tretí vektor rovnaký, takže pre túto hodnotu sú určite vektory lineárne závislé.
Pre $t\ne1$ sú lineárne nezávislé, dá sa to skontrolovať ktorýmkoľvek z postupov spomenutých vyššie.

Riadkové úpravy
$\begin{pmatrix}
1 & t & 1 & t \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 &t-1& 0 &t-1\\
2 & 1 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\overset{t\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 3 &-1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$
Vidíme, že pre $t\ne1$ sú zadané vektory lineárne nezávislé.

Riešenie sústavy
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
t & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 1 & 1 & 0 \\
t & 0 & 1 &-1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
t & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
t & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
t & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 &1-t& 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\overset{t\ne1}\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$
Pre $t\ne1$ má sústava iba nulové riešenie, teda pre takéto hodnoty parametra sú vektory lineárne nezávislé.