Sústava rovníc

[Martin Sleziak]

Nájdite riešenia zadanej sústavy lineárnych rovníc nad poľom $\mathbb R$ s neznámymi $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Zapíšte, ako vyzerá množina riešení.
\begin{align*}
x_1+x_2+3x_3+2x_4&=-2\\
2x_1+x_2+2x_3+2x_4&=-1\\
x_1+2x_2+x_3-2x_4&=1\\
\end{align*}

Na toto poznáme štandardný postup - robíme riadkové úpravy s maticou sústavy, na konci si z matice v redukovanom tvare prečítame riešenia.

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 2 &-2 \\
2 & 1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 1 &-2 & 1 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 2 &-2 \\
2 & 1 & 2 & 2 &-1 \\
3 & 3 & 3 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 2 &-1 \\
0 & 0 & 2 & 2 &-2 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 2 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 &-1 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 &-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 &-1 \\
\end{array}\right)
$

Zvolíme $x_4=t$. (V štvrtom stĺpci nemáme vedúcu jednotku, takže túto premennú určite môžeme voliť ako parameter.)

Dostaneme množinu riešení: $M=\{(-t,1+2t,-1-t,t); t\in\mathbb R\}$.

Skúška. Využijem tento topic aj na to, aby som pripomenul rôzne možnosť ako urobiť skúšku správnosti.

Môžeme priamo do sústavy dosadiť výsledok tak, ako nám vyšiel - celý aj s parametrom, t.j. $x_1=-t$, $x_2=1+2t$, $x_3=-1-t$, $x_4=t$.
Napríklad pre prvú rovnicu dostaneme
$$x_1+x_2+3x_3+2x_4=-t+1+2t+3(-1-t)+2t=(1-3)+(-1+2-3-2)t=-2.$$
Podobne by sme skontrolovali ďalšie rovnice.

Môžeme dosadiť $t=0$, $t=1$ a overiť to pre tieto číselné hodnoty. (Táto skúška je rovnocenná s prvou. Ak by sme mali viac parametrov, tak by sme potrebovali viac možností.)
T.j. do sústavy dosadíme štvorice $(0,1,-1,0)$, $(-1,3,-2,1)$. Skontrolujeme, či obe štvorice sú riešenia sústavy.

Môžeme si rozdeliť riešenie na homogénnu a nehomogénnu časť:
$$(-t,1+2t,-1-t,t)=(0,1,-1,0)+t(-1,2,-1,1).$$
Skúšku robíme so štvoricou $(0,1,-1,0)$ pre pôvodnú sústavu a so štvoricou $(-1,2,-1,1)$ pre zodpovedajúcu homogénnu sústavu. (T.j. pre sústavu, kde sme pravé strany nahradili nulami.)
Napríklad pre prvú rovnicu dostaneme:
\begin{gather*}
x_1+x_2+3x_3+2x_4=1-3=-2\\
x_1+x_2+3x_3+2x_4=-1+2-3+2=0
\end{gather*}
Možno sa oplatí porovnať to so skúškou, kde sme dosadzovali celý výsledok - vidíme, že v oboch prípadoch sa vyskytli tie isté výpočty. Tu sú napísané v dvoch riadkoch, v predošlom postupe to boli členy bez parametra - tie sú v prvom riadku - a druhý riadok zodpovedá členom obsahujúcim $t$.

[Martin Sleziak]

Komentáre k odovzdaným riešeniam

Ako súčasť odpovede som očakával aj nejaký zápis množiny riešení. (T.j. nejaký zápis množiny všetkých usporiadaných štvoríc, ktoré sú riešeniami danej sústavy.)
Nestačilo iba napísať, či riešení je konečne alebo nekonečne veľa.

Tiež pri zápise množiny riešení upozorním na to, že všetky riešenia dostaneme pre $t\in\mathbb R$. (Resp. vo všeobecnosti z poľa, nad ktorým pracujeme.)
Ak ste napríklad uviedli v zápise množiny riešení $t\in\mathbb Z$, tak ste dostali iba niektoré riešenia, nie všetky.

Napíšem aj niečo k tomuto riešeniu:

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 2 &-2 \\
2 & 1 & 2 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 1 &-2 & 1 \\
\end{array}\right)\overset{(1)}\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 2 &-2 \\
0 &-1 &-4 &-2 & 3 \\
0 & 1 &-2 &-4 & 3 \\
\end{array}\right)\overset{(2)}\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 2 &-2 \\
0 & 0 &-6 &-6 & 6 \\
0 & 0 &-6 &-6 & 6 \\
\end{array}\right)\overset{(3)}\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 2 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
$

Úpravy $(2)$ aj $(3)$ nie sú správne. (Matice nie sú riadkovo ekvivalentné.)
V kroku $(3)$ vidno, že posledná matica má hodnosť $1$ a predposledná má hodnosť $2$.
Takisto krok $(2)$ je nesprávny. Ak $r_1$, $r_2$, $r_3$ sú riadky predchádzajúcej matice, tak matica po tomto kroku má druhý aj tretí riadok $r_2+r_3$. Takýto riadok vieme dostať riadkovou operáciou v druhom alebo v treťom riadku - nedajú sa urobiť riadkové úpravy tak, aby sme dostali takýto výsledok v oboch riadkoch.
(Všeobecne si treba dať pozor ak robíte viac úprav v tom istom kroku, či sa skutočne viete dostať k výslednej matici.)