Úloha 5.4.5 - riešenie

[Nadiya Balanchuk]

Zadanie: Dokážte, alebo vyvráťte nasledujúce tvrdenie: Ak $A, B$ sú štvorcové matice
typu $n × n$ a $A^2 = B^2$, tak $A = B$ alebo $A = −B$.

Riešenie: Tvrdenie neplatí. Nech $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}$. Potom $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4& 2 + 2\\2 + 2 & 1 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5& 4\\4 & 5\end{pmatrix}$ a $B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 1 & 2 + 2\\2 + 2 & 4 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5& 4\\4 & 5\end{pmatrix}$. Teda $A^2 = B^2$, ale $ A \not = B$, ani $A \not = -B$.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 b

Skúste nájsť nenulovú maticu $A$ ($2\times 2$) také, že $A^2=
\left(\begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{matrix}\right)$. Potom pre $B=\left(\begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{matrix}\right)$ platí, že $A^2=B^2$ a $A\ne \pm B$.
(hint: jadro a obraz lin. zobr.)