Úloha 5.5.4 - riešenie

[Nadiya Balanchuk]

Zadanie: Zistite, či $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ je regulárna a) nad $\mathbb{Z_2}$ b) nad $\mathbb{Z_3}$, ak áno, nájdite inverznú.

Riešenie:
a) Nech $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$. Štvorcová matica typu $n × n$ sa nazýva regulárna, ak $h(A) = n$. Preto najprv zistíme hodnosť matice A.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{matrix} \\+I \\ \\ \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{matrix} +II\\ \\+II \\ \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$. Teda $h(A) = 2 \not = 3$, preto $A$ nie je regulárna.

b) Nech $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$. Zistíme hodnosť matice $A$, aby sme vedeli určiť, či je matica $A$ regulárna.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{matrix} \\+2\cdot I \\ \\ \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{matrix} +II\\ \\+II \\ \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \begin{matrix}+III \\+2\cdot III \\ \\ \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \cdot 2\\ \cdot 2 \\ \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{matrix} \\+2\cdot III \\ \\ \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$.

Teda $h(A) = 3$, preto $A$ je regulárna.

$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\begin{matrix} \\+2\cdot I \\ \\ \end{matrix} \sim
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\begin{matrix}+2\cdot III \\\cdot 2 \\ \\ \end{matrix} \sim
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\begin{matrix} \\ \\+2\cdot II \\ \end{matrix} \sim \\
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 2 & 2 & 1 & 1
\end{array}\right)
\begin{matrix} \\ \\ \cdot 2 \\ \end{matrix} \sim
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2
\end{array}\right)
\begin{matrix} +III\\ +III\\ \\ \end{matrix} \sim
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 1\\
0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2
\end{array}\right)
$
$A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}$.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod

Mohli ste ešte spomenúť, že inverzná matica existuje len ku regulárnej matici a preto nad $Z_2$ nepočítate inverznú maticu.