Úloha 3.2.12 - riešenie

[Nadiya Balanchuk]

Zadanie: Nech $(G, \circ)$ je grupa. Dokážte, že zobrazenie $f : G \rightarrow G$ definované ako
$f(x) = x^{−1}$ je bijekcia.

Riešenie:
Podľa tvrdenia 2.2.16 inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. Teda ak najdeme inverzné zobrazenie k $f$, vyplynie z toho, že $f$ je bijekcia. Ukážeme, že $f$ je inverzné zobrazenie k $f$.
Podľa definície 2.2.15 zobrazenie $g : Y \rightarrow X$ je inverzné zobrazenie k zobrazeniu $f : X \rightarrow Y$, ak platí
\begin{align}
g \circ f = id_X\\
f ◦ g = id_Y
\end{align}
Pomocou definície overime, že $f$ je inverzným zobrazením k $f$:
$(f \circ f)(a) = f(f(a)) = f(a^{-1}) = (a^{-1})^{-1} = a$, teda $f \circ f = id_G$.
Preto $f$ je inverzné zobrazenie k $f$ a podľa tvrdenia 2.2.16 $f$ je bijekcia.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 b

presne takto som si to predstavoval