Vyjadrenie bázy priestoru riešení homogénnej sústavy
Posted: Wed Jan 09, 2013 6:07 pm
Na skúške som bol trochu prekvapený, že sa našli aj ľudia, ktorí nevedeli takúto (pomerne základnú) vec. Tak sem skúsim dať nejaký taký príklad.
Úloha: Nájdite dimenziu a bázu priestoru riešení homogénnej sústavy
$\begin{array}{ccccc}
-2x_1&+3x_2&+5x_3&+3x_4&=0\\
3x_1&+1x_2&-4x_3&+2x_4&=0\\
4x_1&+5x_2&-3x_3&+7x_4&=0
\end{array}$
$\begin{pmatrix}
-2&3& 5&3\\
3&1&-4&2\\
4&5&-3&7
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
-2&3&5&3\\
1&4&1&5\\
2&8&2&10
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1&4&1&5\\
-2&3&5&3\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1& 4&1&5\\
0&11&7&13\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1& 4&1&5\\
0& 1&\frac7{11}&\frac{13}{11}\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim$
$\begin{pmatrix}
1& 0&-\frac{17}{11}&\frac3{11}\\
0& 1&\frac7{11}&\frac{13}{11}\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}$
Pôvodná sústava je teda ekvivalentná so sústavou
$\begin{array}{cccc}
x_1&-\frac{17}{11}x_3&+\frac3{11}x_4&=0\\
x_2&+\frac7{11}x_3&+\frac{13}{11}x_4&=0
\end{array}$
Vieme, že premenné zodpovedajúce stĺpcom neobsahujúcim vedúce jednotky môžeme voliť za parametre. V tomto prípade sú to neznáme $x_3$ a $x_4$. Ak zvolíme $x_3=s$ a $x_4=t$, tak ostatné premenné vieme dopočítať:
$x_1=\frac{17}{11}s-\frac3{11}t$
$x_2=-\frac7{11}s-\frac{13}{11}t$
Každé riešenie teda má tvar
$(\frac{17}{11}s-\frac3{11}t,-\frac7{11}s-\frac{13}{11}t,s,t)=s(\frac{17}{11},-\frac7{11},1,0)+t(-\frac3{11}-\frac{13}{11},0,1)$.
To znamená, že množina riešení je presne lineárny obal vektorov $(\frac{17}{11},-\frac7{11},1,0)$ a $(-\frac3{11}-\frac{13}{11},0,1)$. Tieto dva vektory sú lineárne nezávislé, teda tvoria bázu.
Súčasne sme zistili, že dimenzia priestoru riešení je 2. To súhlasí s tým, čo sme sa naučili na prednáške: báza priestoru riešení by mala byť rovná $n-h(A)$, t.j. počet neznámych mínus hodnosť matice sústavy. V našom prípade $4-2=2$.
Úloha: Nájdite dimenziu a bázu priestoru riešení homogénnej sústavy
$\begin{array}{ccccc}
-2x_1&+3x_2&+5x_3&+3x_4&=0\\
3x_1&+1x_2&-4x_3&+2x_4&=0\\
4x_1&+5x_2&-3x_3&+7x_4&=0
\end{array}$
$\begin{pmatrix}
-2&3& 5&3\\
3&1&-4&2\\
4&5&-3&7
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
-2&3&5&3\\
1&4&1&5\\
2&8&2&10
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1&4&1&5\\
-2&3&5&3\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1& 4&1&5\\
0&11&7&13\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1& 4&1&5\\
0& 1&\frac7{11}&\frac{13}{11}\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim$
$\begin{pmatrix}
1& 0&-\frac{17}{11}&\frac3{11}\\
0& 1&\frac7{11}&\frac{13}{11}\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}$
Pôvodná sústava je teda ekvivalentná so sústavou
$\begin{array}{cccc}
x_1&-\frac{17}{11}x_3&+\frac3{11}x_4&=0\\
x_2&+\frac7{11}x_3&+\frac{13}{11}x_4&=0
\end{array}$
Vieme, že premenné zodpovedajúce stĺpcom neobsahujúcim vedúce jednotky môžeme voliť za parametre. V tomto prípade sú to neznáme $x_3$ a $x_4$. Ak zvolíme $x_3=s$ a $x_4=t$, tak ostatné premenné vieme dopočítať:
$x_1=\frac{17}{11}s-\frac3{11}t$
$x_2=-\frac7{11}s-\frac{13}{11}t$
Každé riešenie teda má tvar
$(\frac{17}{11}s-\frac3{11}t,-\frac7{11}s-\frac{13}{11}t,s,t)=s(\frac{17}{11},-\frac7{11},1,0)+t(-\frac3{11}-\frac{13}{11},0,1)$.
To znamená, že množina riešení je presne lineárny obal vektorov $(\frac{17}{11},-\frac7{11},1,0)$ a $(-\frac3{11}-\frac{13}{11},0,1)$. Tieto dva vektory sú lineárne nezávislé, teda tvoria bázu.
Súčasne sme zistili, že dimenzia priestoru riešení je 2. To súhlasí s tým, čo sme sa naučili na prednáške: báza priestoru riešení by mala byť rovná $n-h(A)$, t.j. počet neznámych mínus hodnosť matice sústavy. V našom prípade $4-2=2$.