Determinant s polynómami
Posted: Tue Mar 08, 2022 7:01 pm
Pôvodne som zadanie chcel dať také, že máte ukázať, že vždy platí $D(a,b,c,d)=0$.Skupina A
Nájdite aspoň štyri rôzne štvorice reálnych čísel $(a,b,c,d)$, pre ktoré sa daný determinant rovná nule. (Uveďte aj zdôvodnenie, prečo je skutočne nulový.)
$$D(a,b,c,d)=\det
\begin{pmatrix}
a^2 & a(a+1) & (a+1)^2 & a^2+1 \\
b^2 & b(b+1) & (b+1)^2 & b^2+1 \\
c^2 & c(c+1) & (c+1)^2 & c^2+1 \\
d^2 & d(d+1) & (d+1)^2 & d^2+1 \\
\end{pmatrix}
$$
Skupina B
Nájdite aspoň štyri rôzne štvorice reálnych čísel $(a,b,c,d)$, pre ktoré sa daný determinant rovná nule. (Uveďte aj zdôvodnenie, prečo je skutočne nulový.)
$$D(a,b,c,d)=\det
\begin{pmatrix}
a^2 & a(a+1) & (a+1)^2 & a^2-1 \\
b^2 & b(b+1) & (b+1)^2 & b^2-1 \\
c^2 & c(c+1) & (c+1)^2 & c^2-1 \\
d^2 & d(d+1) & (d+1)^2 & d^2-1 \\
\end{pmatrix}
$$
Nejako som trochu váhal, že či tým nevyrobím príliš zložitý príklad. Tak som namiesto toho zmenil to, že nájsť viacero štvoríc. (S tým úmyslom, že ak sa niekomu nebude dariť vyriešiť všeobecný príklad, tak môže vyskúšať nejaké konkrétne hodnoty.)
A prehliadol som, že som takto vyrobil veľmi jednoduchý príklad.
Pri takomto zadaní aké som vám dal dostaneme $D(a,b,c,d)=0$ vždy, ak $a=b$. (Sú potom rovnaké prvé dva riadky.)
Podobne ak si zvolím niektoré iné dve premenné ako rovnaké.
Čiže pomerne ľahko dostaneme nekonečne veľa štvoríc, pre ktoré $D(a,b,c,d)=0$.
Aj ak ste zvládli takúto úlohu (o dosť jednoduchšiu než som pôvodne zamýšľal), stále sa môže oplatiť skúsiť porozmýšľať, či by ste vedeli:
- Nejako ukázať, že vždy platí $D(a,b,c,d)=0$.
- Skúsiť túto úlohu o čosi zovšeobecniť tak, aby zahŕňala ako špeciálne prípady tieto dva determinanty.