msleziak.com

Úloha 1.1. Dokážte priamo z definície, že pre ľubovoľný vektor $\vec\alpha$ platí$\langle\vec\alpha ,\vec0\rangle=0$. (Priamo z definície znamená, že môžete použiť iba tie štyri vlastnosti skalárneho súčinu, ktoré sme uviedli v definícii.)

Sporom predpokladajme, ze $\langle\vec\alpha,\vec0\rangle = k ($pricom $k\ne0) =>$ (na zaklade 1. a 2. vlastnosti skalarneho sucinu) $\langle\vec\alpha,c\vec0\rangle = c\langle\vec\alpha,\vec0\rangle$. Zaroven vieme, ze $c\vec0=\vec0$ pre lubovolne $c$. Pre $c\ne1$ teda rovnost $\langle\vec\alpha,c\vec0\rangle = \langle\vec\alpha,\vec0\rangle = c\langle\vec\alpha,\vec0\rangle$ platit nemoze, kedze by sme dostali, ze $k=c*k$, pricom $k\ne0$ a $c\ne1$, co je hladany spor. Q.E.D.

edit: dufam, ze je to spravne riesenie a spravne poslane. Este by som sa chcel opytat, ci jeden clovek moze riesit aj viacero z tych uloh v sade.
Rafael Korbas

Úloha je vyriešená správne - značím si 1 bod.
Len poznamenám, že by sa z rovnosti $\langle\vec\alpha,\vec0\rangle = c\langle\vec\alpha,\vec0\rangle$ dalo argumentovať aj tak, že máme: $(c-1)\langle\vec\alpha,\vec0\rangle=0$. To platí pre akékoľvek $c$, pre $c\ne1$ dostaneme $\vec\alpha,\vec0\rangle=0$.
Je to len inak prerozprávaný ten dôkaz, ktorý ste robili vy. Chcel som len ukázať, váš dôkaz sa dá vcelku ľahko prerobiť z dôkazu sporom na priamy dôkaz.

Ak by niekto ďalší vymyslel iné riešenie - napríklad také, ktoré nevyužíva vlasnosť $\langle c\vec\alpha,\vec\beta\rangle=c\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle$, ale niektoré ostatné vlastnosti z definície, tak je stále možnosť získať za túto úlohu bod.

korbas4 wrote: edit: dufam, ze je to spravne riesenie a spravne poslane.

Poslané je ok - tak ako som písal, pre každú úlohu je dobre začať nové vlákno - to ste spravili. Ja som len do názvu doplnil aspoň nejako stručne o čom je daná úloha - podľa mňa to môže byť užitočné pre Vašich kolegov, keď si budú prezerať fórum. Človek zhruba vidí, o akú úlohu ide, aj bez toho, aby klikol a pozrel sa dovnútra. (Názov obsahujúci zhruba naznačené aké je zadanie je informatívnejší ako len číslo úlohy.)

korbas4 wrote:Este by som sa chcel opytat, ci jeden clovek moze riesit aj viacero z tych uloh v sade.

Nemám s tým problém. Je len na vás, či nechcete počkať aspoň nejakých 24 hodín, aby ste dali šancu ostatným spolužiakom. (A aby ste nestratili motiváciu riešiť úlohy z ďalších kapitol, keď veľmi rýchlo nazbierate plný počet bodov.)