Racionálne korene polynómu
Posted: Thu May 12, 2022 5:09 pm
Napriek tomu, že toto bola asi vcelku jednoduchá úloha - stačilo použiť štandardný postup - sa tu vyskytlo dosť chybných (resp. neúplných) riešení. Tak niečo k tejto úlohe napíšem.
$$f(x)=x(2x^3+7x^2+4x-4).$$
Vidíme teda, že $0$ je koreňom a že na hľadanie ďalších koreňov už stačí počítať s polynómom $g(x)=2x^3+7x^2+4x-4$.
Vieme, že ak $\frac pq$ je racionálny koreň tohoto polynómu tak $p$, $q$ musia byť celé čísla také, že $p\mid -4$ a $q\mid 2$.
Máme teda $p\in\{\pm1,\pm2,\pm4\}$, $q\in\{\pm1,\pm2\}$ a pre ich podiel máme možnosti
$$\frac pq \in \{\pm\frac12,\pm1,\pm2,\pm4\}$$
Skúsme dosadiť niektorú z týchto hodnôt:
$$
\begin{array}{c|cccc|}
& 2 & 7 & 4 & -4 \\
-1 & &-2 &-5 & 1 \\ \hline
& 2 & 5 &-1 & \boxed{-3}
\end{array}
$$
Vidíme, že $-1$ nie je koreň.
Takto postupujeme ďalej - máme iba konečne veľa hodnôt na vyskúšanie.
Užitočné je nezabudnúť, že ak nejaký koreň nájdeme, už nám stačí počítať s polynómom nižšieho stupňa, ktorý vyjde vydelením.
$$
\begin{array}{c|cccc|}
& 2 & 7 & 4 & -4 \\
\frac12& & 1 & 4 & 4 \\ \hline
& 2 & 8 & 8 & \boxed{0}
\end{array}
$$
Týmto výpočtom som zistil, že $\frac12$ je koreň a súčasne aj to, že $$f(x)=(x-\frac12)(2x^2+8x+8)=(2x-1)(x^2+4x+4).$$
(Koeficienty $2$, $8$, $8$ som si prečítal zo spodného riadku v Hornerovej schéme.)
Vidíme, že keď hľadám ďalšie korene, už sa stačí pozerať na polynóm $x^2+4x+4$.
Racionálne korene by som mohol robiť pomocou Hornerovej schémy. (Pričom namiesto $q\mid 2$ už mám teraz podmienku $q\mid 1$.)
Ale je to polynóm druhého stupňa - a kvadratické rovnice vieme riešiť. V tomto prípade dokonca asi veľmi rýchlo zbadáme, že $x^2+4x+4=(x+2)^2$.
Dostali sme teda celkovo:
$$f(x)=x(2x-1)(x+2)^2=x(x-\frac12)(x+2)^2.$$
Zistili sme, že racionálne korene sú $0$, $\frac12$ a $-2$. (Pričom koreň $-2$ je dvojnásobný.)
*****
Ak by sme skúšali kandidátov na korene v inom poradí a narazili by sme na koreň $-2$ skôr než na $\frac12$, boli by všetky výpočty zhruba rovnako náročné. Dostali by sme:
$$
\begin{array}{c|cccc|}
& 2 & 7 & 4 & -4 \\
-2 & &-4 &-6 & 4 \\ \hline
& 2 & 3 &-2 & \boxed{0}
\end{array}
$$
Z tohto výpočtu vidíme, že $-2$ je koreň a súčasne
$$f(x)=(x+2)(2x^2+3x+2).$$
A ďalej už počítame s polynómom $2x^2+3x+2$. (Ktorý je stupňa dva - a teda tam vieme nájsť všetky reálne korene.)
Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach
Viacerí ste stále dosadzovali do pôvodného polynómu. Ak už som našiel jeden koreň, tak pri hľadaní ďalších koreňov už môžem pracovať s polynómom nižšieho stupňa. (Čo je menej práce.)
Môžeme si hneď všimnúť, že sa dá vyňať $x$, t.j.Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)\in\mathbb R[x]$.
$$f(x)=2x^4+7x^3+4x^2-4x$$
$$f(x)=x(2x^3+7x^2+4x-4).$$
Vidíme teda, že $0$ je koreňom a že na hľadanie ďalších koreňov už stačí počítať s polynómom $g(x)=2x^3+7x^2+4x-4$.
Vieme, že ak $\frac pq$ je racionálny koreň tohoto polynómu tak $p$, $q$ musia byť celé čísla také, že $p\mid -4$ a $q\mid 2$.
Máme teda $p\in\{\pm1,\pm2,\pm4\}$, $q\in\{\pm1,\pm2\}$ a pre ich podiel máme možnosti
$$\frac pq \in \{\pm\frac12,\pm1,\pm2,\pm4\}$$
Skúsme dosadiť niektorú z týchto hodnôt:
$$
\begin{array}{c|cccc|}
& 2 & 7 & 4 & -4 \\
-1 & &-2 &-5 & 1 \\ \hline
& 2 & 5 &-1 & \boxed{-3}
\end{array}
$$
Vidíme, že $-1$ nie je koreň.
Takto postupujeme ďalej - máme iba konečne veľa hodnôt na vyskúšanie.
Užitočné je nezabudnúť, že ak nejaký koreň nájdeme, už nám stačí počítať s polynómom nižšieho stupňa, ktorý vyjde vydelením.
$$
\begin{array}{c|cccc|}
& 2 & 7 & 4 & -4 \\
\frac12& & 1 & 4 & 4 \\ \hline
& 2 & 8 & 8 & \boxed{0}
\end{array}
$$
Týmto výpočtom som zistil, že $\frac12$ je koreň a súčasne aj to, že $$f(x)=(x-\frac12)(2x^2+8x+8)=(2x-1)(x^2+4x+4).$$
(Koeficienty $2$, $8$, $8$ som si prečítal zo spodného riadku v Hornerovej schéme.)
Vidíme, že keď hľadám ďalšie korene, už sa stačí pozerať na polynóm $x^2+4x+4$.
Racionálne korene by som mohol robiť pomocou Hornerovej schémy. (Pričom namiesto $q\mid 2$ už mám teraz podmienku $q\mid 1$.)
Ale je to polynóm druhého stupňa - a kvadratické rovnice vieme riešiť. V tomto prípade dokonca asi veľmi rýchlo zbadáme, že $x^2+4x+4=(x+2)^2$.
Dostali sme teda celkovo:
$$f(x)=x(2x-1)(x+2)^2=x(x-\frac12)(x+2)^2.$$
Zistili sme, že racionálne korene sú $0$, $\frac12$ a $-2$. (Pričom koreň $-2$ je dvojnásobný.)
*****
Ak by sme skúšali kandidátov na korene v inom poradí a narazili by sme na koreň $-2$ skôr než na $\frac12$, boli by všetky výpočty zhruba rovnako náročné. Dostali by sme:
$$
\begin{array}{c|cccc|}
& 2 & 7 & 4 & -4 \\
-2 & &-4 &-6 & 4 \\ \hline
& 2 & 3 &-2 & \boxed{0}
\end{array}
$$
Z tohto výpočtu vidíme, že $-2$ je koreň a súčasne
$$f(x)=(x+2)(2x^2+3x+2).$$
A ďalej už počítame s polynómom $2x^2+3x+2$. (Ktorý je stupňa dva - a teda tam vieme nájsť všetky reálne korene.)
Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach
Viacerí ste stále dosadzovali do pôvodného polynómu. Ak už som našiel jeden koreň, tak pri hľadaní ďalších koreňov už môžem pracovať s polynómom nižšieho stupňa. (Čo je menej práce.)
- Niektorí ste odignorovali nulový koreň, resp. počítali ste Hornerovu schému bez absolútneho člena. Explicitne zdôrazním, že ak pri používaní Hornerovej schémy nemôžem povynechávať nulové koeficienty. Teda ak by som dosadzoval nejakú hodnotu do pôvodného polynómu, tak Hornerova schéma vyzerala takto:
$$
\begin{array}{c|cccc|}
& 2 & 7 & 4 & -4 & 0 \\
-2 & &-4 &-6 & 4 & 0 \\ \hline
& 2 & 3 &-2 & 0 & 0
\end{array}
$$ - Niektorí ste rátali Hornerovu schému ako keby ste dosadzovali $-c$ a nie $c$.
- Niektorí ste našli jeden koreň a potom ste už skončili. (Úlohou bolo nájsť všetky racionálne korene.)