msleziak.com

Vypočítajte $d(x)=\gcd(f(x),g(x))$ a vyjadrite ho v tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$.
\begin{align*}
f(x)&=x^4+x^2+1\\
g(x)&=x^4+x^3+2x^2+x+1
\end{align*}

Pripomeniem, že n.s.d. polynómov nie je určený jednoznačne - líšiť sa však môže iba vynásobením nenulovou konštantou. (Všeobecne je n.s.d. jednoznačný až na asociovanosť.)
Ak by sme napríklad pridali podmienku, že chceme, aby $d(x)$ mal vedúci koeficient $1$, tak by už bol určený jednoznačne.

Zapíšem do tabuľky postup, ktorý sme si ukazovali. (Samozrejme ak sa vám viac páči taký zápis, tak to isté môžete zapísať pomocou niekoľkých delení so zvyškom.)
$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
f(x)=x^4+x^2+1 & 1 & 0 \\\hline
g(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1 & 0 & 1 \\\hline
h_1(x)=g(x)-f(x)=x^3+x^2+x & -1 & 1 \\\hline
h_2(x)=g(x)-xh_1(x)=x^2+x+1 & x & 1-x \\\hline
\end{array}$$
Pretože $x^2+x+1$ delí polynóm $x^3+x^2+x$, ktorý sme dostali v predošlom kroku, tak toto už bude najväčší spoločný deliteľ.

Tým sme vypočítali, že
$$d(x)=x^2+x+1=x(x^4+x^2+1)-(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1).$$

Môžeme skontrolovať aj to, že tento polynóm naozaj delí $f(x)$ a $g(x)$. Dostaneme:
\begin{align*}
f(x)&=(x^2+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1\\
g(x)&=(x^2+x+1)(x^2+1)=x^4+x^3+2x^2+x+1
\end{align*}