msleziak.com

$\newcommand{\EE}{\mathbb E}\newcommand{\RR}{\mathbb R}\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$
V $\EE^4$ určte vzdialenosť bodu $P \equiv (2,5,1,2)$ a jeho kolmého priemetu do roviny $\beta$, prechádzajúcej bodmi $A \equiv (1,2,0,3)$, $B \equiv (2,3,1,4)$, $C \equiv (2,1,1,2)$.

V druhej skupine sú výpočty veľmi podobné.

Riešenie.
Chceme nájsť vzdialenosť medzi bodom $P$ a jeho kolmým priemetom $P^\bot$.
Pretože vektor $\vekt{P^\bot P}$ je kolmý na $V_\beta$, dá sa na túto úlohu pozerať aj tak, že chceme vypočítať ortogonálnu projekciu vektora $\vekt{AP}$ do $(V_\beta)^\bot$. (Samozrejme, namiesto $A$ by sme mohli zobrať aj ktorýkoľvek iný bod z roviny $\beta$.)
Poďme to teda skúsiť takýmto spôsobom.

Podpriestor $V_\beta$ je generovaný vektormi
\begin{align*}
\vekt{AB}&=(1,1,1,1)\\
\vekt{AC}&=(1,-1,1,-1)
\end{align*}
Vidíme, že tieto vektory sú na seba kolmé - teda máme k dispozícii ortogonálnu bázu. Vynormovaním dostaneme ortonormálnu bázu $\vec u_1=\frac12(1,1,1,1)$, $\vec u_2=\frac12(1,-1,1,-1)$.
Ak máme ortonormálnu bázu, tak už ľahko vieme vypočítať maticu projekcie na tento podpriestor ako $P=\vec u_1^T\vec u_1+\vec u_2^T\vec u_2$, t.j. dostaneme
$$P=
\frac14
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}+
\frac14
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 1 &-1 \\
-1 & 1 &-1 & 1 \\
1 &-1 & 1 &-1 \\
-1 & 1 &-1 & 1 \\
\end{pmatrix}=
\frac12
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
(Označujem písmenom $P$ aj bod aj maticu - čo nie je ideálne označenie. Ale sme zvyknutí maticu projekcie označovať $P$; a navyše sa tieto veci nevyskytnú nikde tak, že by sme sa mohli popliesť, ktoré z nich je čo.)

Opäť pripomeniem, že si môžeme napríklad skontrolovať, či stopa matice je rovná dimenzii. viewtopic.php?t=1781
Tiež sa ľahko dá skontrolovať, či nám vyšla symetrická matica.
Prípadne môžem prekontrolovať aj to, že ak touto maticou vynásobím $\vekt{AB}$ resp. $\vekt{AC}$, tak sa tieto vektory nezmenia.
Ak by to nevyšlo, tak vieme, že sme pri výpočte matice projekcie niekde spravili chybu.

Nás ale zaujíma matica projekcie na ortogonálny doplnok $(V_\beta)^\bot$, teda
$$P'=I-P=
\frac12
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$

Teraz nám už zostáva len vypočítať
$$\vekt{AP}\cdot P'=
\frac12
(1,3,1,-1)
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}=
(0,2,0,-2).
$$

Alebo sme mohli aj vypočítať projekciu vo $V_\beta$ ako $\vekt{AB}\cdot P$ a potom ju projekciu do $V_\beta^\bot$ vypočítať ako $\vekt{AB}-\vekt{AB}\cdot P$. (Ak sa nám ľahšie počíta s maticou $P$.)
Dostaneme takto rovnaký výsledok
$$(1,3,1,-1)-(1,1,1,1)=(0,2,0,-2)$$

Môžeme ľahko skontrolovať, či tento vektor patrí do $V_\beta^\bot$; stačí pomocou skalárneho súčinu overiť, či je kolmý na $(1,1,1,1)$ aj na $(1,-1,1,-1)$.

Hľadaná vzdialenosť je dĺžka tohto vektora, t.j.
$$\lvert(0,2,0,-2)\rvert=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt8=2\sqrt2$$

Ak chceme vyrátať aj $P^\bot$, tak z rovnosti $\vekt{P^\bot P}=(0,2,0,-2)$ máme
$$P^\bot=P-(0,2,0,-2)=(2,5,1,2)-(0,2,0,-2)=(2,3,1,4).$$
Teda nám vyšlo, že $P^\bot=B$, tento bod teda skutočne patrí zadanej rovine.