msleziak.com

$\newcommand{\RR}{\mathbb R}$
Aké sú súradnice vektora $\vec x=(2,1,2)$ v $\RR^3$ vzhľadom na bázu $(\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3)$, ak $\vec a_1=(1,0,1)$, $\vec a_2=(1,-1,0)$, $\vec a_3 = (0,1,-1)$? Aká je matica prechodu od bázy $(\vec a_1, \vec a_2,\vec a_3)$ k štandardnej báze $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$?

Súradnice vektora v inej báze

Vlastne chceme vyjadriť vektory $\vec x$ ako lineárnu kombináciu vektorov $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3$; hľadáme koeficienty tejto lineárnej kombinácie.
Alebo môžeme najprv vypočítať maticu prechodu - a potom použiť to, čo vieme o vzťahu medzi súradnicami v jednej a v druhej báze.

Ak teda chceme nájsť koeficienty také, aby platilo $\vec x=c_1\vec a_1+c_2\vec a_2+c_3\vec a_3$, tak nám to dá sústavu s neznámymi $c_1,c_2,c_3$
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 2 \\
0 &-1 & 1 & 1 \\
1 & 0 &-1 & 2
\end{array}\right)$$
Túto sústavu vyriešime štandardným spôsobom. (A pre vypočítané riešenie si ľahko vieme urobiť skúšku správnosti.)

Dostaneme riešenie $c_1=\frac52$, $c_2=-\frac12$, $c_3=\frac12$.
Toto sú teda súradnice vektora $\vec x$ v tejto báze.
(Musíme dostať práve jedno riešenie - ak by sme nedostali žiadne riešenie alebo dostali viacero riešení, tak by to znamenalo, že zadané vektory netvoria bázu. Alebo že máme niekde pri riešení sústavy chybu.)

Matica prechodu

Vyjadrenie vektorov $(\vec a_1, \vec a_2,\vec a_3)$ v báze $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ sú presne ich súradnice. T.j. matice prechodu od štandardnej bázy k "a-čkovej" je:
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 0 \\
0 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}$$
My chceme maticu prechodu opačným smerom - t.j. inverz k tejto matici
$$P=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 0 \\
0 & 1 &-1 \\
\end{pmatrix}^{-1}=
\frac12\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 1 \\
1 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Pretože vektore $\vec x$ má súradnice $(2,1,2)$ v štandardnej báze, jeho súradnice v "našej" báze by sme mali dostať ako
$$(2,1,2)P=
\frac12
(2,1,2)
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 1 \\
1 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}=
\frac12(5,-1,1)=(\frac52,-\frac12,\frac12)
$$
Dostali sme ten istý výsledok, ako riešením sústavy.