Inverzná matica k matici $2\times2$

[Martin Sleziak]

Keďže sme takýto vzorec párkrát spomenuli na rôznych miestach, azda nezaškodí mať niekde napísané niečo o inverznej matici k matici rozmerov $2\times 2$.

Platí
$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$

Vynásobením sa dá ľahko skontrolovať, že súčin je naozaj jednotková matica.

Spoiler:

$$
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&-bc+ad\end{pmatrix} = (ad-bc)I
$$

Ak si pamätáme vyjadrenie inverznej matice pomocou adjungovanej matice, t.j.
$$A^{-1}=\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A),$$
tak použiť ho pre matice $2\times2$ je veľmi jednoduché - v tomto prípade podmatice, pre ktoré potrebujeme vypočítať determinanty, sú rozmerov $1\times1$.

Spoiler:

Máme
\begin{align*}
\operatorname{adj}(A)&=
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a &-d \\
-b & c
\end{pmatrix}\\
A^{-1}=\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A)&=
\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}
a &-d \\
-b & c
\end{pmatrix}
\end{align*}

Pre maticu $2\times2$ by asi nebolo až tak veľmi ťažké vypočítať inverznú pomocou riadkových operácií aj ak ju máme v takomto všeobecnom tvare.

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cc|cc}
a & b & 1 & 0 \\
c & d & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & \frac{b}{a} & \frac1a & 0 \\
c & d & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & \frac{b}{a} & \frac1a & 0 \\
0 & \frac{ad-bc}a &-\frac{c}a & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|cc}
a & b & 1 & 0 \\
0 & ad-bc &-c & a
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|cc}
a & b & 1 & 0 \\
0 & 1 &-\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|cc}
a & 0 & \frac{ad}{ad-bc} &-\frac{ab}{ad-bc} \\
0 & 1 &-\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & \frac{d}{ad-bc} &-\frac{b}{ad-bc} \\
0 & 1 &-\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{array}\right)$

Z tohto postupu vidíme, že ak $ad-bc=0$, tak inverzná matica neexistuje. (A ak $ad-bc\ne0$, tak je úplne v poriadku krok, kde sme týmto výrazom delili.)

Hneď na začiatku sme delili číslom $a$, teda uvedený postup je v poriadku iba pre $a\ne0$.
Prípad, keď $a=0$, by sme si mali ešte rozmyslieť zvlášť.