msleziak.com

Úloha 1.2. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

Dané zobrazenie nie je skalárny súčin.

Skúsime nájsť protipríklad.

Pozrime sa na $\langle\vec\alpha,\vec\alpha\rangle=a_1^2+2a_1a_2+a_2^2+2a_2a_3+a_3^2=(a_1+a_2)^2+(a_2+a_3)^2-a_2^2$

Vyskúšame, či môže nastať $a_1+a_2 = 0$, $a_2+a_3=0$ a $a_2 \neq 0$.
Môže, napríklad pre $a_2 = 1$, potom $a_1 = a_3 = -1$.

Dosadíme vektor $\alpha = (-1,1,-1)$ a dostaneme $\langle\vec\alpha,\vec\alpha\rangle=1 - 2 +1 - 2 + 1=-1 < 0$, čo je spor s 4. podmienkou skalárneho súčinu.
(Rovnako aj všetky vektory tvaru $(c,-c,c)$ pre $c\in\mathbb R^3-\{0\}$ sú protipríkladom na 4. podmienku.

Riešenie je fajn, značím si 1 bod.