5. prednáška (18.10.)
Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Trochu sme sa rozprávali o tom, čo vlastne je prienik systému množín a čo znamená označenie $\bigcap\limits_{i\in I} X_i$. Aj keď príklady, na ktorých sme si to ukázali boli iba také veľmi jednoduché - ako: $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N} (i,\infty)=\emptyset$ alebo $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N\setminus \{0\}} \langle0,\frac1{i})=\{0\}$, $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N\setminus \{0\}} (0,\frac1{i})=\emptyset$)
Lineárna kombinácia (a lineárny obal). Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$. Lineárny obal je podpriestor, tiež sme ho nazývali podpriestor generovaný vektormi $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.)
$[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m]$ práve vtedy, keď 1. $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in [\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m]$ a 2. $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m\in [\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]$.
Vektor $\vec\beta$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\beta]$.
Lineárna závislosť/nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady.
Ak je jeden vektor je lineárne nezávislý, tak je to nenulový vektor.
Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich.
Steinitzova veta o výmene a jej dôkaz (na stránke, ktorá je tu uvedená je veľmi podobný, ako ten, ktorý som povedal, rozdiely sú v malých detailoch argumentácie - to, čo som povedal zhruba zodpovedá tomu, čo je v skriptách). (Nabudúce sa vrátim k tomu, ako sa používa, aj ju vysvetlime na konkrétnom príklade).
******************
Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $a_1\vec\alpha_1+\dots+a_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $a_1=\dots=a_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte/skriptách - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov s kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.
Tento týždeň nedávam domácu úlohu.