msleziak.com

Martin Sleziak wrote:
Úloha 1.3. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+3a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

Ak to má byť skalárny súčin, musí spĺňať 4 podmienky z definície.
(i) $\langle \vec\alpha, \vec\beta\rangle = \langle \vec\beta, \vec\alpha \rangle$
Túto podmienku súčin spĺňa, pretože platí: $a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+3a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3=b_1a_1+b_1a_2+b_2a_1+3b_2a_2+b_2a_3+b_3a_2+b_3a_3$

(ii) $ \langle \vec\alpha + \vec\beta, \vec\gamma \rangle = \langle \vec\alpha, \vec\gamma \rangle + \langle \vec\beta, \vec\gamma \rangle$
(iii) $\langle c\vec\alpha, \vec\beta \rangle = c \langle \vec\alpha, \vec\beta\rangle$
Tieto podmienky súčin spĺňa (keďže sa naň dá pozerať ako na násobenie matíc $\vec\alpha C \vec\beta^{ T}$, kde $C = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}$. Platnosť (ii) a (iii) následne vyplýva z definície násobenia matíc.)

(iv) $ \langle \vec\alpha, \vec\alpha \rangle > 0$ pre $\vec\alpha \neq \vec{0}$
Aj táto podmienka platí: $\langle \vec\alpha, \vec\alpha \rangle=a_1^2+2a_1a_2+3a_2^2+2a_2a_3+a_3^2 = (a_1+a_2)^2 + a_2^2 + (a_2 + a_3)^2$. Tento súčet je určite >= nule, keďže každý jeho člen je druhou mocninou reálneho čísla (a preto je každý jeho člen aj sám o sebe >= 0). Celý súčet môže byť = 0 len v prípade, že každý jeho člen je rovný nule, teda aj $a_2^2 = 0$, preto $a_2 = 0$. Keďže ale $(a_2 + a_3)^2 = 0$, tak $a_3 = -a_2$, a preto aj $a_3 = 0$. Z podobných príčin $a_1 = 0$. Preto $\langle \vec\alpha, \vec\alpha \rangle = 0$ znamená, že $\vec\alpha = \vec{0}$, inak $\langle \vec\alpha, \vec\alpha \rangle > 0$, čím je splnená aj štvrtá podmienka.

Predpis spĺňa všetky štyri podmienky z definície, preto to je skalárny súčin.

Riešenie je ok, značím si 1 bod.