\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}
\newcommand{\Ldots}[3]{#1_{#2},\ldots,#1_{#3}}
$
Úlohy označené hviezdičkou ${}^*$ sú o trochu náročnejšie.
- Vypíšte všetky možné binárne operácie na množine $\{0,1\}$. Ktoré z nich sú asociatívne, komutatívne, majú neutrálny prvok? Pre ktoré existuje ku každému prvku aj inverzný?
- Dokážte, že ak $\circ$ je binárna operácia na množine $A$ a $\circ$ je asociatívna, tak ľubovoľné uzátvorkovanie výrazu $a\circ b\circ c\circ d$ predstavuje ten istý prvok. (Máme tu na mysli uzátvorkovania bez výmeny poradia, ktoré už jednoznačne určujú výsledok operácie. Aspoň bez dôkazu spomeniem, že to isté platí aj pre ľubovoľný počet prvkov. Počet uzátvorkovaní výrazu s $n$ prvkami je $n$-té Catalanove číslo.)
- ${}^*$ Ak viete, že ide o tabuľku asociatívnej binárnej operácie, doplňte chýbajúce výsledky (ak sa to dá).
Slovný popis tabuľky: Ide o tabuľku operácie na trojprvkovej množine $\{a,b,c\}$, pričom je zadané, že $a*a=b$, $a*b=a$, $a*c=c$.
$$\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & & & \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$
- Ktoré z uvedených množín tvoria vzhľadom na dané operácie grupu?
V ktorých prípadoch je táto grupa komutatívna?
a) $(\Z,\cdot)$ (celé čísla s obvyklým násobením)
b) $(\R,\cdot)$ (reálne čísla s obvyklým násobením)
c) $(\R\sm\{0\},\cdot)$,
d) $(\C,+)$,
e) $(\C,\cdot)$,
f) $(\C\setminus\{0\},\cdot)$
g) $(\R^2,+)$ (so sčitovaním definovaným po zložkách)
h) $\R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$
i) $\R\sm\{-1\}$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=ab+a+b$
j) Množina všetkých párnych celých čísel vzhľadom na sčitovanie.
k) Množina všetkých nepárnych celých čísel vzhľadom na sčitovanie.
l) $(\Z_5,\oplus)$ - Tvoria všetky permutácie na konečnej množine $M$ grupu? Je táto grupa komutatívna? Urobte tabuľku grupovej operácie v prípade $M=\{1,2,3\}$.
- Je $(\R,\ast)$, kde $a \ast b=ab+a+b$, grupa? Ak nie, vedeli by ste vynechať niektorý prvok $a$ z množiny $\R$ tak, aby $(\R\sm\{a\},\ast)$ bola grupa?
- Nech $G=\{z\in\C: \abs{z}=1\}$. Je $G$ s operáciou $\cdot$ (násobenie komplexných čísel) grupa? Označme $C_n=\{z\in\C: z^n=1\}$. Je $(C_n,\cdot)$ grupa?
- Dokážte, že ak $(G,\cdot)$ je grupa a $x,y,z\in G$ tak platí
\begin{gather*}
xy=xz \Ra y=z;\\
yx=zx \Ra y=z.
\end{gather*}
(Tzv. zákony o krátení v grupe.) - Nech $(G,*)$ je grupa a $e$ je jej neutrálny prvok. Dokážte:
a) $x*y=y*x$ $\Leftrightarrow$ $x*y*\inv x*\inv y=e$.
b) Ak $x*x=e$ pre všetky $x\in G$, tak $G$ je komutatívna. - Ak $(G,\circ)$ je grupa a $a\in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $\Zobr {f_a}GG$ definované ako $f_a(b)=a\circ b$ je bijekcia.
- Nech $(G,\circ)$ je grupa. Dokážte, že zobrazenie $\Zobr fGG$ definované ako $f(a)=\inv a$ je bijekcia.
- ${}^*$ Nech $G$ je neprázdna množina a $\circ$ je asociatívna binárna operácia na $G$. Potom $G$ je grupa práve vtedy, keď pre ľubovoľné $a,b\in G$ majú rovnice
\begin{gather*}
a\circ x=b\\
y\circ a=b
\end{gather*}
riešenie v $G$ (inými slovami, pre ľubovoľné $a,b\in G$ existujú $x,y\in G$, ktoré spĺňajú tieto dve rovnosti.) - Nech $G$ je konečná množina a $\circ$ je binárna operácia na $G$ taká, že platí asociatívny zákon a zákony o krátení. Dokážte, že $G$ je grupa.
- Nech $*$ je binárna operácia na množine $G$, ktorá je
a) asociatívna,
b) existuje prvok $e\in G$ taký, že $(\forall x\in G)e*x=x$
c) pre každý prvok $x\in G$ existuje $y\in G$ také, že $x*y=e$ (kde $e$ označuje prvok z časti b) t.j.
$$(\forall x\in G)(\exists y\in G) y*x=e.$$
Dokážte, že potom $(G,*)$ je grupa. (Všimnite si, že uvedené podmienky sa síce podobajú na definíciu neutrálneho a inverzného prvku, ale v oboch prípadoch tam máme iba jednu z dvoch rovností, ktoré vystupujú v definícii.) - ${}^*$ Dokážte, že v konečnej grupe, ktorá má párny počet prvkov, existuje prvok rôzny od neutrálneho prvku taký, že $a\circ a=e$.
- Nech konečná množina $G=\{e,\Ldots a1n\}$ tvorí s operáciou $*$ komutatívnu grupu a $e$ je jej neutrálny prvok. Dokážte, že $(a_1*a_2*\dots*a_n)^2=e$.
- Nech $\ast$ je binárna operácia na množine $A$ taká, že pre každé $a,b,c \in A$ platí $a\ast(b\ast c)=(a\ast c)\ast b$ a $\ast$ má neutrálny prvok. Dokážte, že operácia $\ast$ je komutatívna a asociatívna.
- Nech $(G,\circ)$ je grupa. Dokážte, že ak $x\circ x=x$, tak $x=e$.
- Zistite, či $(\R^+\times\R, \square)$, kde pre každé $(a,b),(c,d)\in\R^+\times\R$ definujeme $(a,b)\square(c,d)=(2ac,b+d)$, je grupa.
- Nech $G=\R\times(\R\sm\{0\})$. Definujme na tejto množine binárnu operáciu $\ast$ predpisom $(a,b)\ast(c,d)=(a+bc,bd)$. Je to skutočne binárna operácia? Je $(G,\ast)$ grupa? Je to komutatívna grupa?
- Nech $G=(\Q\times\Q\sm\{(0,0)\}))$. Definujme na tejto množine binárnu operáciu $\ast$ predpisom $(a,b)\ast(c,d)=(ac+2bd,ad+bc)$. Je to skutočne binárna operácia? Je $(G,\ast)$ grupa? Je to komutatívna grupa?
- Nech $(G,*_G)$ a $(H,*_H)$ sú grupy. Dokážte, že aj $G\times H$ s operáciou $*$ definovanou ako
$$(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1 *_G g_2,h_1 *_H h_2)$$
je grupa. - Doplňte nasledujúcu tabuľku tak aby ste dostali grupu.
Slovný popis tabuľky: Ide o tabuľku operácie na štvorprvkovej množine $\{a,b,c,d\}$, pričom je zadané, že $b*d=d$, $c*c=d$.
$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
& a & b & c & d \\\hline\hline
a & & & & \\\hline
b & & & & d \\\hline
c & & & d & \\\hline
d & & & & \\\hline
\end{array}$$ - Ak pre každý prvok $x$ grupy $(G,\circ)$ platí $x\circ x=e$, tak táto grupa je komutatívna.
- Nech $G$ je grupa, $e$ je jej neutrálny prvok a $a,b\in G$. Ukážte, že ak $(ab)^2=e$, tak aj $(ba)^2=e$.