V Example 14.28(2) autori len uviedli, ako vyzerajú hľadané podpriestory, ale nezrátali $e_1,\dots,e_5$.
Počítame tam s permutáciami $a=(1234)$ a $b=(12)(34)$. Platí pre ne $a^4=b^2=1$ a $bab=(2143)=(1432)=a^3$ (teda $ba=a^3b$).
Inverzné prvky sú $a^{-1}=a^3$, $(a^2)^{-1}=a^2$, $(a^3)^{-1}=a$, $b^{-1}=b$, $(ab)^{-1}=ba^3=ab$, $(a^2b)^{-1}=ba^2=a^2b$, $(a^3b)^{-1}=ba=a^3b$. Špeciálne vidíme, že každý prvok je konjugovaný s jeho inverzom, teda $\chi(\inv g)=\chi(g)$, čo nám trochu zjednoduší výpočty.
Najprv chceme zrátať prvky $e_i=\frac{\chi_i(1)}{|G|}\sum_{g\in G}{\chi_i(\inv g)g}$. Na to stačí dosadiť hodnoty charakterov, ktoré máme zadané.
$$
\begin{align*}
e_1&=\frac{1+a+a^2+a^3+b+ab+a^2b+a^3b}8\\
e_2&=\frac{1+a+a^2+a^3-b-ab-a^2b-a^3b}8\\
e_3&=\frac{1-a+a^2-a^3+b-ab+a^2b-a^3b}8\\
e_4&=\frac{1-a+a^2-a^3-b+ab-a^2b+a^3b}8\\
e_5&=\frac{1-a^2}2
\end{align*}
$$
Tieto prvky potom použijeme na výpočet podmodulov $Ve_i$.
Podmodul $Ve_1$
$v_1e_1=\frac{v_1+v_2+v_3+v_4+v_2+v_1+v_4+v_3}8=\frac{v_1+v_2+v_3+v_4}4$
$v_2e_1=\frac{v_2+v_3+v_4+v_1+v_1+v_4+v_3+v_2}8=\frac{v_1+v_2+v_3+v_4}4$
Vcelku ľahko vidno, že aj pri ostatných bázových vektoroch sa každý vektor zopakuje v čitateli dvakrát, teda $v_3e_1$ aj $v_4e_1$ sú rovnaké.
Teda $Ve_1$ je naozaj lineárny obal vektora $v_1+v_2+v_3+v_4$. Tento vektor sa očividne nemení žiadnou permutáciou z $S_4$, čiže ide o triviálny charakter. Súhlasí to s tým, že sme ho dostali z triviálneho charakteru.
Podmodul $Ve_2$
$v_1e_2=\frac{v_1+v_2+v_3+v_4-v_2-v_1-v_4-v_3}8=0$
$v_2e_2=\frac{v_2+v_3+v_4+v_1-v_1-v_4-v_3-v_2}8=0$
Opäť vidno, že aj pre $e_3$ a $e_4$ nám v čitateli vyjdú všetky 4 vektory najprv so znamienkom plus a potom so znamienkom mínus. Dostaneme takto nulový podmodul.
Podmodul $Ve_3$
$v_1e_3=\frac{v_1-v_2+v_3-v_4+v_2-v_1+v_4-v_3}8=0$
$v_2e_3=\frac{v_2-v_3+v_4-v_1+v_1-v_2+v_3-v_4}8=0$
$v_3e_3=\frac{v_3-v_4+v_1-v_2+v_4-v_3+v_2-v_1}8=0$
$v_4e_3=\frac{v_4-v_1+v_2-v_3+v_3-v_2+v_1-v_4}8=0$
Znovu sme dostali nulový podpriestor.
Podmodul $Ve_4$
$v_1e_4=\frac{v_1-v_2+v_3-v_4-v_2+v_1-v_4+v_3}8=\frac{v_1-v_2+v_3-v_4}4$
$v_2e_4=\frac{v_2-v_3+v_4-v_1-v_1+v_4-v_3+v_2}8=\frac{-v_1+v_2-v_3+v_4}4=-v_1e_4$
$v_3e_4=\frac{v_3-v_4+v_1-v_2-v_4+v_3-v_2+v_1}8==\frac{v_1-v_2+v_3-v_4}4=v_1e_4$
$v_2e_4=\frac{v_4-v_1+v_2-v_3-v_3+v_2-v_1+v_4}8=\frac{-v_1+v_2-v_3+v_4}4=-v_1e_4$
Tento podmodul je teda generovaný vektorom $u_1=v_1-v_2+v_3-v_4$.
Môžeme si všimnúť, že $u_1a=v_2-v_3+v_4-v_1=-u_1$ a $u_1b=v_2-v_1+v_4-v_3=-u_1$. Teda tomuto podmodulu zodpovedá reprezentácia $a\rho=-1$, $b\rho=-1$, čo opäť súhlasí so zadaným charakterom $\chi_4$.
Podmodul $Ve_5$
$v_1e_5=\frac{v_1-v_3}2$
$v_2e_5=\frac{v_2-v_4}2$
$v_3e_5=\frac{v_3-v_1}2=-v_1e_5$
$v_4e_5=\frac{v_4-v_2}2=-v_2e_5$
Teda tento podmodul je generovaný vektormi $u_2=v_1-v_3$ a $u_3=v_2-v_4$.
Môžeme si všimnúť, že $u_2a=u_3$ a $u_3a=-u_2$. Násobenie prvkom $b$ funguje tak, že $u_2b=u_3$ a $u_3b=u_2$. Ide teda o reprezentáciu $a\rho=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ a $b\rho=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Môžeme vynásobením skontrolovať, že táto reprezentácia skutočne dáva charakter $\chi_5$.
Spoiler:
V knihe nám autori ešte hovoria, že si môžeme skontrolovať, že $e_1+e_2+e_3+e_4+e_5=1$. (Táto rovnosť musí platiť, ak zoznam, ktorý sme dostali, je kompletný zoznam neizomorfných ireducibilných $\mathbb CG$-modulov, pretože vieme, že po prenásobení dimenziami majú v súčte dať regulárny charakter.) Vcelku ľahko vidno, že táto rovnosť platí aj pre kontrétne hodnoty, ktoré nám vyšli.
Ďalej nám hovoria, že sa môžeme presvedčiť o tom, že $e_ie_j=\delta_{ij}$.