Konkrétne dve množiny by sme považovali za rovnako veľké, ak existuje medzi nimi bijekcia. A zasa pomocou injekcie vieme zadefinovať, čo znamená $|A|\le|B|$.
Napríklad by sme si povedali niečo o tom, že:
- Kardinálne čísla vieme zmysluplne sčitovať, násobiť, umocňovať.
- Pre takéto operácie viacero vecí funguje podobne ako sme zvyknutí z prirodzených čísel - napríklad $(a^b)^c=a^{bc}$. A niektoré veci zasa fungujú trochu inak.
- Pozreli by sme sa na množiny, ktoré majú rovnakú kardinalitu ako $\mathbb N$, t.j. spočítateľné množiny.
- Napríklad $\mathbb Q$ je spočítateľná množina. Zjednotenie spočítatľne veľa spočítateľných množín je spočítateľné.
- Videli by sme, že $|R|>|N|$. T.j. v takomto zmysle je reálnych čísel viac ako prirodzených.
- Ako dôsledok by sme ukázali existenciu transcendentných čísel. (Alebo tiež existenciu funkcií resp. čísel, ktoré nie sú vypočítateľné. Alebo existenciu dĺžok, ktoré sa nedajú skonštruovať pravítkom a kružidlom.)