msleziak.com

Vektorové priestory$
\newcommand{\abs}[1]{|#1|}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\limti}[1]{\lim\limits_{#1\to\infty}}
$

$(V,+,\cdot)$ je vektorový priestor nad $R$ ak $\Zobr{+}{V\times V}V$, $\Zobr{\cdot}{R\times V}V$ a platí

• $(V,+)$ je komutatívna grupa;
• $(\alpha+\beta)\vek x=\alpha\vek x+\beta\vek x$ pre ľubovoľné $\alpha,\beta\in R$, $\vek x\in V$;
• $\alpha(\vek x+\vek y)=\alpha\vek x+ \alpha\vek y$ pre ľubovoľné $\alpha\in R$, $\vek x, \vek y \in V$;
• $\alpha(\beta\vek x)=(\alpha\beta)\vek x$ pre ľubovoľné $\alpha,\beta\in R$, $\vek x\in V$;
• $1\vek x=\vek x$ pre ľubovoľné $\vek x\in V$.

1. Ukážte, že $\R$ je vektorový priestor nad poľom $\Q$.
2. Koľko prvkov má vektorový priestor $(\Z_3)^n$? Čomu sa v tomto priestore rovná $\vek\alpha + \vek\alpha + \vek\alpha$?
3. Zistite, či $\R\times\R$ s operáciami $+$ a $\cdot$ definovanými tak, že $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ pre ľubovoľné $(a,b),(c,d)\in \R\times\R$ a $r\cdot (a,b)=(ra,2rb)$ pre ľubovoľné $r\in\R$, je vektorový priestor nad $\R$.
4. Zistite, či $(\R^+,\oplus,\odot)$ je vektorový priestor nad $\R$, ak definujeme $x\oplus y=xy$, $c\odot x=x^c$ pre $x,y\in\R^+$, $c\in\R$.

Podpriestory

Ak $V$ je vektorový priestor nad poľom $R$ a $M$ je neprázdna podmnožina $V$, tak tieto podmienky sú ekvivalentné:

• $M$ je podpriestor priestoru $V$.
• Pre ľubovoľné $\vek x,\vek y\in M$ a $\alpha\in R$ platí $\vek x+\vek y\in M$, $\alpha\vek x\in M$.
• Pre ľubovoľné $\vek x,\vek y\in M$ a $\alpha,\beta\in R$ platí $\alpha\vek x+\beta\vek y\in M$.

Ak $M$ je podpriestor, tak $\vek0\in M$. (Každý podpriestor obsahuje nulový vektor.)

1. Ktoré z týchto množín tvoria vektorový podpriestor priestoru $\R^3$?
   a) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; x_1\in \Z \}$
   b) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; x_1=0 \}$
   c) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; x_1=0 \lor x_2=0 \}$
   d) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; 3x_1+4x_2=1\}$
   e) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; 7x_1-x_2=0\}$
   f) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; x_1+x_2=x_3\}$
   g) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; \abs{x_1}=\abs{x_2}\}$
   h) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; x_1+x_2+x_3\geq0\}$
   i) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; 2x_1=-x_2=x_3\}$
   j) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \R^3; x_1+x_2+x_3=0\}$.
2. Ktoré z týchto podmnožín tvoria vektorový podpriestor priestoru reálnych funkcií $\R^{\R}$?
   a) funkcie $\Zobr f{\R}{\R}$ s vlastnosťou $2f(0)=f(1)$
   b) nezáporné funkcie
   c) funkcie $\Zobr f{\R}{\R}$ s vlastnosťou $f(1)=1+f(0)$
   d) funkcie $\Zobr f{\R}{\R}$ s vlastnosťou $(\forall x\in\langle0,1\rangle) f(x)=f(1-x)$
   e) ohraničené funkcie $\Zobr f{\R}{\R}$
   f) spojité funkcie $\Zobr f{\R}{\R}$
   h) funkcie $\Zobr f{\R}{\R}$ také, že existuje konečná limita $\limti x f(x)$
   i*) funkcie $\Zobr f{\R}{\R}$ také, že existuje konečná alebo nekonečná limita $\limti x f(x)$.
3. Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$. Ukážte, že $S\cup T$ je podpriestor priestoru $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.
4. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$ a $S\ne\emptyset$ je podmnožina $V$. Ukážte, že $S$ je podpriestor $V$ práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c\in F$ a $\vek\alpha,\vek\beta\in S$ platí $c\vek\alpha+\vek\beta\in S$.