msleziak.com

Systémy lineárnych rovníc$
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$

1. Nájdite všetky riešenia daných sústav rovníc nad poľom $\R$:
   $
   \begin{array}{ccccl}
   x_1 & -x_2 & +2x_3 & -3x_4 &=1 \\
   & \hphantom{+}x_2 & -x_3 & +x_4 &=-3\\
   x_1 & +3x_2 & & -3x_4 &= 1\\
   & -7x_2 & +3x_3 & +x_4 &= 3
   \end{array}
   $
   
   $
   \begin{array}{cl}
   \hfill x_1 +x_2&= 1\\
   \hfil x_1 +x_2 +x_3&=4\\
   \hfil x_2 +x_3 +x_4&=-3\\
   \hfil x_3 + x_4 +x_5&=2\\
   \hfill x_4+x_5&= -1
   \end{array}
   $
   
   $
   \begin{array}{ccccl}
   2x & -5y & +3z & +t &= 5\\
   3x & -7y & +3z & -t &=-1\\
   5x & -9y & +6z & +2t &= 7\\
   4x & -6y & +3z & +t &= 8\\
   \end{array}$
   
   $
   \begin{array}{ccccl}
   x & +2y & +4z & -3t &= 0\\
   3x & +5y & +6z & -4t &= 0\\
   4x & +5y & -2z & +3t &= 0\\
   3x & +8y &+24z &-19t &= 0\\
   \end{array}$
   
   $
   \begin{array}{ccccc}
   x & +4y & -2z & +8t &=12\\
   & y & -7z & +2t &=-4\\
   & & 5z & -t &= 7\\
   & & z & +3t &=-5\\
   \end{array}
   $
2. Riešte v $\Z_5$ sústavu určenú maticou:
   $
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 & 3 &|& 1 \\
   1 & 2 & 4 & 0 &|& 2 \\
   2 & 1 & 3 & 4 &|& 3 \\
   3 & 0 & 4 & 4 &|& 4
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   3 & 1 & 2 & 2 &|& 1 \\
   4 & 4 & 2 & 1 &|& 0 \\
   0 & 1 & 2 & 4 &|& 1 \\
   2 & 1 & 1 & 2 &|& 3
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   2 & 4 & 1 & 1 &|& 2 \\
   3 & 3 & 3 & 2 &|& 1 \\
   1 & 4 & 2 & 1 &|& 1 \\
   4 & 2 & 0 & 3 &|& 2
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 3 & 2 &|& 4 \\
   2 & 3 & 1 & 1 &|& 3 \\
   4 & 3 & 1 & 3 &|& 2 \\
   3 & 4 & 3 & 2 &|& 1
   \end{pmatrix}$
3. Riešte v $\R$ sústavu určenú maticou:\\
   $
   \begin{pmatrix}
   3 & -2 & 1 &|& 11 \\
   1 & 1 & -3 &|& 7 \\
   11 & -4 & -3 &|& 10
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & -1 &|& 2 \\
   3 & -1 & 2 &|& 7 \\
   1 & 0 & -1 &|& -2 \\
   2 & 1 & 1 &|& 7
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & -3 &|& 1 \\
   -1 & 3 & -2 &|& 3 \\
   0 & 5 & -5 &|& 4
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & -2 & 1 &|& 0 \\
   4 & 1 & -1 &|& 2 \\
   1 & 2 & 4 &|& 0
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 4 & -3 &|& 0 \\
   1 & -3 & -1 &|& 0 \\
   2 & 1 & -4 &|& 0
   \end{pmatrix}
   $
   Riešenie: a) nemá riešenie, b) (1,2,3) c) $(t-\frac35, t+\frac45,
   t)$, d) $(\frac{20}{47}, \frac 6{47}, -\frac8{47})$, e)
   $(\frac{13}7t, \frac27t, t)$
4. Riešte v $\Z_7$ sústavu určenú maticou:
   $
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 1 & 1 &|& 5 \\
   0 & 1 & 1 & 1 &|& 6 \\
   3 & 1 & 2 & 3 &|& 0 \\
   0 & 3 & 6 & 1 &|& 4
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 & 1 &|& 0 \\
   2 & 1 & 0 & 3 &|& 1 \\
   3 & 1 & 1 & 1 &|& 5 \\
   0 & 1 & 2 & 3 &|& 6
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 4 & 1 &|& 4 \\
   1 & 3 & 3 & 1 &|& 5 \\
   4 & 1 & 5 & 1 &|& 6 \\
   2 & 3 & 1 & 4 &|& 2
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 1 & 3 &|& 1 \\
   2 & 1 & 2 & 3 &|& 2 \\
   3 & 1 & 1 & 1 &|& 1 \\
   0 & 6 & 5 & 3 &|& 3
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 1 & 3 &|& 1 \\
   2 & 3 & 1 & 4 &|& 2 \\
   1 & 1 & 0 & 1 &|& 1 \\
   0 & 4 & 4 & 1 &|& 0
   \end{pmatrix}$
5. Nájdite reálne čísla $a,b,c$ tak, aby graf funkcie $f(x)=ax^2+bx+c$ prechádzal bodmi $(1,2)$, $(-1,6)$ a $(2,3)$.
6. Nájdite hodnotu parametra $b\in\mathbb R$, pre ktorú má daná sústava riešenie. Pre túto hodnotu aj vyjadrite množinu riešení.
   \begin{align*}
   x_1 + 4x_2 - 3x_3 + 2x_4 &= 2\\
   2x_1 + 7x_2 - 4x_3 + 4x_4 &= 3\\
   -x_1 - 5x_2 + 5x_3 - 2x_4 &= b\\
   3x_1 +10x_2 - 5x_3 + 6x_4 &= 4
   \end{align*}
7. V závislosti od parametra $a\in\R$ riešte systém daný maticou:
   a) $
   \begin{pmatrix}
   a & 1 &|& a^2 \\
   1 & a &|& 1
   \end{pmatrix} $
   b) $
   \begin{pmatrix}
   a & 1 &|& a^3 \\
   1 & a &|& 1
   \end{pmatrix} $
8. Ako vyzerajú, v závislosti od parametra $p$, riešenia sústavy danej maticou:
   $\begin{pmatrix}
   p & 1 & 1 & 1 &|& 1\\
   1 & p & 1 & 1 &|& 1\\
   1 & 1 & p & 1 &|& 1\\
   1 & 1 & 1 & p &|& 1
   \end{pmatrix}$
9. O sústave $n$ rovníc o $n$ neznámych nad poľom $\R$ vieme, že jej koeficienty tvoria aritmetickú postupnosť (ako napríklad pre maticu $
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 3 &|& 4 \\
   5 & 6 & 7 &|& 8 \\
   9 & 10 & 11 &|& 12
   \end{pmatrix}
   $) a že táto sústava má jediné riešenie. Nájdite riešenie sústavy.