Triedy sú vzory prvkov obrazu
Posted: Wed Nov 16, 2022 2:13 pm
Poznamenám, že vedieť takýto výsledok môže byť užitočné, keď chceme na nejakú konkrétnu situáciu aplikovať vetu o izomorfizme. Ak mám aspoň nejakú predstavu o tom, ako vyzerajú triedy, tak viem, že homomorfizmus $f$ sa musím snažiť voliť tak, aby na prvkoch každej triedy bol konštantný.
A ako ďalšiu poznámku spomeniem, že podobné úvahy ako robíme v riešení tejto úlohy sa vyskytli aj v dôkaze vety o faktorovom izomorfizme - konkrétne v časti, kde sa kontrolovalo, či zobrazenie $\overline f \colon [a]\mapsto f(a)$ je dobre definované. (A sčasti to súvisí aj s tým, že $\overline f$ je injektívne.)
Poďme sa teda pozrieť na to, čo bolo našou úlohou dokázať.$\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Ima}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$
T.j. triedy ekvivalencie sú určené reláciou
$$x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H.$$
Pripomeňme aj to, že jadro je vzor neutrálneho prvku, t.j. $$\Ker f=\{z\in G; f(z)=0\}.$$
Riešenie. Chceme ukázať rovnosť dvoch množín - môžeme sa pozrieť zvlášť na jednotlivé inklúzie.
1. Pre každé $x\in [a]$ platí $f(x)=f(a)$.
Ak $x\in [a]$, znamená to, že $x\sim a$, a teda
$$x-a \in \Ker f$$
t.j. $f(x-a)=0$.
Pretože $f$ je homomorfizmus, máme teda
$$f(x)-f(a)=0,$$
čo znamená, že $f(x)=f(a).$
2. Ak $f(x)=f(a)$, tak $x\in[a]$.
Predpokladajme, že $f(x)=f(a)$. Z toho, že $f$ je homomorfizmus, dostaneme
$$f(x-a)=f(x)-f(a)=0.$$
Zistili sme, že $x-a\in H$, čo znamená, že $x\sim a$, čiže aj $x\in [a]$.
A ako ďalšiu poznámku spomeniem, že podobné úvahy ako robíme v riešení tejto úlohy sa vyskytli aj v dôkaze vety o faktorovom izomorfizme - konkrétne v časti, kde sa kontrolovalo, či zobrazenie $\overline f \colon [a]\mapsto f(a)$ je dobre definované. (A sčasti to súvisí aj s tým, že $\overline f$ je injektívne.)
Poďme sa teda pozrieť na to, čo bolo našou úlohou dokázať.$\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Ima}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$
Pre operáciu na $G$ aj na $G'$ budem používať označenie $+$ a neutrálny prvok budem označovať $0$. (Toto by malo súhlasiť s označením, na ktoré ste zvyknutí z prednášky.)Nech $G$ je komutatívna grupa, $\Zobr fG{G'}$ je homomorfizmus grúp a $H=\Ker f$. Ako $[a]$ označíme triedu prvku $a$ vo faktorovej grupe $G/H$.
Dokážte, že pre ľubovoľné $a\in G$ platí
$$[a]=\{x\in G; f(x)=f(a)\}.$$
(Týmto vlastne dokážeme, že triedy rozkladu podľa $\Ker f$ sú presne vzory jednoprvkových podmnožín $\Ima f$.)
T.j. triedy ekvivalencie sú určené reláciou
$$x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H.$$
Pripomeňme aj to, že jadro je vzor neutrálneho prvku, t.j. $$\Ker f=\{z\in G; f(z)=0\}.$$
Riešenie. Chceme ukázať rovnosť dvoch množín - môžeme sa pozrieť zvlášť na jednotlivé inklúzie.
1. Pre každé $x\in [a]$ platí $f(x)=f(a)$.
Ak $x\in [a]$, znamená to, že $x\sim a$, a teda
$$x-a \in \Ker f$$
t.j. $f(x-a)=0$.
Pretože $f$ je homomorfizmus, máme teda
$$f(x)-f(a)=0,$$
čo znamená, že $f(x)=f(a).$
2. Ak $f(x)=f(a)$, tak $x\in[a]$.
Predpokladajme, že $f(x)=f(a)$. Z toho, že $f$ je homomorfizmus, dostaneme
$$f(x-a)=f(x)-f(a)=0.$$
Zistili sme, že $x-a\in H$, čo znamená, že $x\sim a$, čiže aj $x\in [a]$.